专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 例1．（2023秋·福建泉州·九年级校考期末）问题背景：（1）如图①，已知，求证：； 尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长． 例2．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）【模型呈现：材料阅读】 如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；… 【模型改编：问题解决】 点，在直线的同侧，，，，直线，交于， 如图1：点在直线上，①求证：；    ②求的度数．     如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______； ④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．    图1                     图2                             图3 例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 例4．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，．点D是所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接、．    (1)如图1，当时，求证：． (2)当时，请判断线段与之间的数量关系是_____，并仅就图2的情形说明理由． (3)当时，且时，若，，点E在上方，求的长． 例5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 例6．（2023·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：； 深入探究：（3）如图，将（1）