专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题03 相似三角形重要模型-手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 例1．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转． （一）发现问题（1）如图①，、、满足的数量关系为________； （二）探究问题（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分； （三）拓展应用 （3）如图③，在四边形中，，，，求的度数． 例2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论．(2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 例3．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 例4．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 例5．（2023·四川·九年级专题练习）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．    例6.（2023·浙江·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）． 例7．（2023春·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，C