4.3等比数列及其性质讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四节 等比数列 知识清单 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母表示 ． 符号表示： （1）定义式：； （2）递推式与中项式：． 2．等比数列的通项公式 （1）； （2）． 3．等比数列的性质 （1）若，，成等比数列，则，称为的等比中项； （2）若，则 （左右项数相同），若，则； （3）若数列为等比数列，则数列（为非零常数）是等比数列； （4）若数列为等比数列，则数列是等比数列； （5）若数列为等比数列，则数列（）是等比数列． 4．等比数列与指数函数 由等比数列的通项公式，可知一个数列是等比数列的等价条件： 它的通项满足，是一个常数与指数函数的乘积形式． 题型训练 题型一 等比数列的概念 1．已知等比数列的通项公式，则该数列的公比（ ） A．3 B． C． D． 2．已知数列为等比数列，则下面数列中一定是等比数列为 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 题型二 等比数列的通项公式及其应用 利用通项公式以及，常用除法（分式）进行运算 3．在等比数列中，，，则公比 ， 4．公比的等比数列满足，则 5．在等比数列中，，，则　 　 6．已知等比数列满足，，则 7．已知等比数列满足，，则 8．等比数列，，的公比为 题型三 等比数列的性质 9．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的公比（ ） A．2 B． C． D． 10．已知等比数列中，，则（ ） A． B．128 C． D．256 11．已知，，成等比数列，其中，则 　 　 12．在等比数列中，若，是方程的两根，则 题型四 等比数列的实际运用 13．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（　　） A． B． C．f D． 14．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（　　） A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 题型五 证明与构造等比数列 （1）若为等比数列，则它的首项为，通项公式为 （2）递推关系式形如时，可用待定系数法求解，即设数列为等比数列， 即，由常数部分相等， 则数列是首项为，公比为的等比数列，即 15．已知数列为等比数列，，，则（ ） A．7 B．15 C．31 D．32 16．已知数列，，，，是首项为8，公比为的等比数列，则（　　） A．8 B．32 C．64 D．128 17．已知数列为等比数列，，，则　 　 18．已知数列满足，，则数列通项公式 19．已知数列满足，，则数列通项公式 20．已知数列满足：．求证：数列为等比数列． 综合训练 1．已知在等比数列中，，，则（　　） A． B． C．1 D．2 2．在等比数列中，是方程的两根，则（　　） A．6 B．2 C．6或2 D． 3．已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱，要使通过玻璃板的光线强度减弱到原来的以下，则至少需要重叠玻璃板块数为（参考数据：）（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知数列满足，且，则（　　） A． B． C． D． 5．已知各项均为正项的等比数列为递减数列，且，请写出一个符合条件的数列的通项公式 6．已知数列的前项和．求证数列为等比数列并写出的通项公式． 7．已知数列满足．求证数列为等比数列并写出的通项公式． 8．已知数列和满足，． （1）证明：是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式． 第四节 等比数列参考答案 题型一 等比数列的概念 1．C 2．①②⑤⑥ 题型二 等比数列的通项公式及其应用 3．2，64 4．8 5． 6．42 7． 8． 题型三 等比数列的性质 9-12 A，D，， 题型四 等比数列的实际运用 13-14 D，B 题型五 证明与构造等比数列 15-20 C，C，58，，，略 综合训练 1-4 C，B，D，A 5． 6．