数列求和讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第七节 数列求和 题型一 分组求和 设数列的前项和为，数列的前项和为， 则数列的前项和，常用于等差等比，奇数项偶数项． 类型一：“等差等比”类型 1．已知数列的通项公式为，为其前项和，则（ ） A．510 B．518 C．520 D．524 2．已知数列的通项公式为，为其前项和，则 3．已知是各项均为正数的等比数列，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 类型二：“奇数项偶数项”类型 4．已知数列的前项和为，且，则（　 　） A．2019 B． C． D．4037 5．已知数列的前项和为，且，则 6．已知在数列中，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 题型二 裂项相消 类型一：等差类，形如，其中为等差数列． （1） 如： （2） 注意：①裂项时前面的系数不用死记，可以裂项后通分和原式比较，从而求出系数 ②累加相消时注意首尾剩下的项数，如累加相消后首尾各剩两项 ③对于一些式子，可以用分离常数法，如 类型二：根式类 如： 类型三：指对数类 （1） 如： （2） 如： 类型四：裂项相加类（利用进行相消） ，求和时分奇偶进行 其他类型 （1） （2） 7．已知数列的通项公式为，则为其前项和，则（ ） A． B． C． D． 8．已知数列的首项为3，且，则数列的前2020项和为（　　） A． B． C． D． 9．已知数列中，，，设，则数列的前项和为 10．已知数列的通项公式为，则其前项和 11．已知数列的通项公式为，则其前15项和 12．已知数列的通项公式为，则其前项和 13．已知数列的通项公式为，则其前项和 14．已知数列满足，设，则数列的 前 项和为 15．设数列满足 （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．已知数列的前项和为，，，． （1）求； （2）求． 题型三 错位相减 主要用于求数列的前项和，其中分别为等差数列与等比数列． 错位相减法的步骤： 已知为等差数列的公差，为等比数列的公比 ①首先写出数列前项和 ②将上式左右两边都乘以公比，得到 ③两式相减 ，化简即可． 注意：错位相减后等式右边一共为三部分，首项减尾项，然后加上项的等比数列的和． 17．已知数列的通项公式为，则其前项和 18．已知数列的通项公式为，则其前项和 19．已知正项等比数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和． 20．已知数列的前项和，是等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 题型四 倒序相加法 当数列满足时，可采取倒序相加法，该方法常用在函数中，注意首尾项的和差关系以及脚标关系． 21．的值为 22．已知函数满足，则 23．已知函数，则 ， 24．已知函数，则 题型五 合并求和法 观察数列前几项的规律，将数列进行分段求和 25．已知数列的通项公式为，则其前项和 26．已知数列的通项公式为，则 27．已知数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 28．已知数列满足，． （1）证明数列为等差数列； （2）若，求数列的前项和． 综合训练 1．已知数列是递增的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，，求数列的前项和． 2．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，且． （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 3．设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 4．数列满足，． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和． 5．已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 6．已知数列满足，． （1）记，写出，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 7．已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 8．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．