专题04 圆的方程九个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019）

专题04圆的方程九个重难点归类 一、圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 注：当时，方程表示一个点； 当时，方程没有意义，不表示任何图形． 二、直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 三、圆与圆位置关系的两种判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 四、两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆①，圆②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． 【重难点一 求圆的方程】 例1．圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 【跟踪练习】 练习1．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 练习2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 练习3．中，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 练习4．分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，，且圆心在直线上； (2)过、、三点． 【重难点二 点与圆的位置关系】 例3．已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例4．若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 判断点与圆的位置关系的方法： （1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可； （2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断． 【跟踪练习】 练习1．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ） A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1 练习2．已知点在圆的外部，则k的取值范围是 . 练习3．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 练习4．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围 . 【重难点三 直线与圆的位置关系】 例5．若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 例6．已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 【跟踪练习】 练习1．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 练习2．已知，则圆与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 练习3．直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习4．若直线与两个圆都相离，则的取值范围是 ． 【重难点四 圆的切线问题】 例7．已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．9 例8．已知直线，圆，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 求切线方程的常用方法 （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 【跟踪练习】 练习1．已知圆心为的圆经过.两点，且圆心在直线上 (1)求的标准方程； (2)过点作的切线，求切线方程.