24.2 第2课时 垂径分弦-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学沪科版（安徽）

第2课时　垂径分弦 ◇教学目标◇ 　　1.探索圆的对称性,进而得到垂径定理;能够利用垂径定理解决相关的实际问题. 2.在探索问题的过程中,培养学生动手操作的能力,使学生感受圆的对称性,体会圆的性质. 3.经历垂径定理及推论的证明过程,培养学生的思维能力,使学生领会数学的严谨性,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的精神. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 垂径定理的应用. 【教学难点】 利用垂径定理解决实际问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 你知道赵州桥吗?它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400多年了,是隋代开皇大业年间(605~618)由著名匠师李春建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形,全长50.82米,桥宽约10米,跨度37.4米,拱高7.2米,是当今世界上跨度最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥.你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗? 二、合作探究 探究点1　利用垂径定理求线段长 典例1　如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.根据上述条件,解答下列问题. (1)由垂径定理可知与线段CH相等的线段是　　　,再由垂直平分线定理可得BC与BD之间的数量关系为　　　　;  (2)若CD=6,则CH=　　　　.连接OC,设OH=x,则OC=　　　　.在Rt△COH中,根据勾股定理可知OC,OH和CH之间的数量关系为　　　　,列方程为　　　　,解得　　　　,故☉O的半径为　　　　.  [解析]　(1)根据垂径定理得出CH=DH,根据线段的垂直平分线性质得出BC=BD;(2)由(1)知,CH=DH,所以CH=CD=3.设OH=x.因为CD垂直平分OA,所以OA=2OH=2x,所以OC=OA=2x,在Rt△COH中,根据勾股定理,得OC2=OH2+CH2,解得x=,☉O的半径为2. [答案]　(1)DH　BC=BD (2)3　2x　OC2=OH2+CH2　(2x)2=x2+32　x=　2 1.垂径定理应用中常作的辅助线: (1)若已知圆心和弦,则连接圆心和弦的一个端点,并作垂直于弦的直径,构造直角三角形; (2)若已知圆心和非直径的弦(弧)的中点,则连接圆心和弦(弧)的中点,并延长使其与圆相交,得圆的直径,再连接圆心和弦的一个端点,构造直角三角形. 2.垂径定理应用中常用的技巧: 设未知数,根据勾股定理列方程. 变式训练　如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=16,点M在☉O上,MD经过圆心O,连接MB. (1)若BE=4,求☉O的半径; (2)若∠M=∠D,求线段OE的长. [解析]　(1)设☉O的半径为x,则OE=x-4. ∵CD=16,CD⊥AB,∴DE=CD=8. 在Rt△ODE中,OD2=DE2+OE2,则x2=(x-4)2+82,解得x=10, ∴☉O的半径为10. (2)∵OM=OB,∴∠M=∠B, ∴∠DOE=2∠M. 又∠M=∠D,∴∠D=30°. 在Rt△OED中,∵DE=8,∠D=30°, ∴OE=. 探究点2　利用垂径定理解决简单的实际问题 典例2　赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1 m) [解析]　如图,过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线,交于点C,交AB于点D,则CD=7.2 m. 由垂径定理,得AD=AB=×37.4=18.7(m). 设☉O的半径为R m,在Rt△AOD中,AO=R,OD=R-7.2,AD=18.7. 由勾股定理,得AO2=OD2+AD2, ∴R2=(R-7.2)2+18.72, 解得R≈27.9. 答:赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. 变式训练　如图是某座石拱桥的设计图,设计数据如图所示,桥拱是圆弧形,求桥拱的半径. [解析]　如图,桥拱所在圆的圆心为点E,作EF⊥AB,垂足为F,并延长交圆于点H. 由垂径定理知,F是AB的中点. 由题意知,FH=10-2=8, 则AE=EH,EF=EH-FH. 由勾股定理知,AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-FH)2,即AE2=122+(AE-8)2, 解得AE=13. 答:桥拱的半径为13 m. 三、板书设计 垂径分弦 垂径分弦 ◇教学反思◇ 在教学中采用讲练结合、动手操作的方法,让学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,并利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣. 从课堂表现来看,学生能够深入课堂,通过动手、动脑、交流、讨论等活动,善于发言、总结,表现出严谨、认真的学习态度. 1 立足