3.8 圆内接正多边形-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

3.8　圆内接正多边形 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能说出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；理解并能说出正多边形和圆的关系，能解决正多边形的有关计算；会利用等分圆周的方法用尺规作某些特殊的正多边形. 2.经历探索正多边形与圆关系的过程，经历探索多边形的有关计算的过程，进一步体会数学中的转化思想. 3.通过正多边形和圆的关系的探究，了解“方”和“圆”的辩证关系，了解极限思想和认识事物的辩证唯物主义的观点. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 正多边形中的有关概念及其有关计算. 【教学难点】 正多边形和圆的关系的理解，某些正多边形的尺规作图. ◇教学过程◇ 一、问题导入 1.什么叫正多边形?从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点? 2.你知道正多边形与圆的关系吗?过正多边形的各顶点能作一个圆吗? 二、合作探究 探究点1　正多边形的有关计算 典例1　有一个亭子，它的地基是半径为4 m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积.(精确到0.1 m2) [解析]　如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于圆的半径， 因此，亭子地基的周长为l＝4×6＝24(m). 在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝2.利用勾股定理，可得边心距r＝＝2(m). 亭子地基的面积为S＝lr＝×24×2≈41.6(m2). 【技巧点拨】正多边形的有关计算问题，都是把它转化为解直角三角形的问题，正多边形的外接圆的半径、边心距和边长的一半恰好构成了一个直角三角形，且有一个锐角是中心角的一半. 变式训练　已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是 (　　) A.2 B.1 C. D. [答案]　B 探究点2　用尺规画正多边形 典例2　作图与证明.如图，已知☉O和☉O上的一点A，请完成下列任务： (1)作☉O的内接正六边形ABCDEF； (2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明. [解析]　(1)如图，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交☉O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF， 则正六边形ABCDEF即为☉O的内接正六边形. (2)四边形BCEF是矩形. 证明：连接OE. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝DE＝DC，FE＝BC， ∴， ∴，∴BF＝CE， ∴四边形BCEF是平行四边形. ∵∠EOD＝＝60°，OE＝OD，∴△EOD是等边三角形， ∴∠OED＝∠ODE＝60°. ∵正六边形的内角为120°， ∴∠EDC＝∠FED＝120°. ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°， ∴四边形BCEF是矩形. 　　用尺规作正多边形，是通过等分圆周来实现的，即先等分圆周，然后依次连接各等分点，即得正多边形.用尺规一般可以作正三角形、正四边形、正六边形、正八边形等. 变式训练　如图，P是☉O上的一点. (1)在☉O上求作一点B，使PB是☉O的内接正三角形的一边； (2)在上求作一点A，使PA是☉O的内接正方形的一边； (3)连接OB，求∠AOB的度数； (4)求作☉O的内接正十二边形. [解析]　(1)以P为圆心、OP为半径在☉O上依次截取2个点，第二个点为B，则PB即为所求. (2)作直径PH，过圆心作直径PH的垂线交于点A，则PA即为所求. (3)∵PA是☉O的内接正方形的一边， ∴∠AOP＝90°. ∵PB是☉O的内接正三角形的一边， ∴∠BOP＝120°，∴∠AOB＝30°. (4)如图，以P为圆心、OP为半径在☉O上依次截取6个点， 则这6个点是圆的6等分点， 作各弧的中点，顺次连接12个点，得到☉O的内接正十二边形. 三、板书设计 圆内接正多边形 ◇教学反思◇ 　　本节新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高.在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习. 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师应当根据学生的实际情况进行适当调整，通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情境，通过对问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索新知的能力. 1 立足安徽 精准备考 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$