3.6 第2课时 切线的判定与三角形的内切圆-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能够说出切线的判定定理，且能够应用它证明或解决问题；理解并能够说出三角形内切圆和三角形内心的意义，会作三角形的内切圆或找三角形的内心. 2.经历作圆的切线和圆的切线的判定定理的探究过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力. 3.体验圆的切线的判定的不同方法，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 圆的切线的判定定理的探索及运用. 【教学难点】 根据题目不同的条件，选用不同的方法判定圆的切线. ◇教学过程◇ 一、情境导入 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，知道了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆的位置关系，可以从公共点的个数及圆心到直线的距离与半径做比较两种方法进行判断. 由上可知，判断直线和圆相切，有哪两种方法?除了这两种方法外，还有其他方法吗? 二、合作探究 探究点1　切线的判定定理 典例1　如图，已知AB是☉O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证：直线CD是☉O的切线； (2)若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值. [解析]　(1)连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB. 在△COD和△COB中， ∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°. 又∵点D在☉O上， ∴CD是☉O的切线. (2)由(1)知△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD. ∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO， ∴. ∵AD＝5，∴OC＝. 　　切线的判定方法除了定义以外，还有两种，一种是根据切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；另一种是根据“圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线”，所以如果知道直线过圆上一点，就证明这条直线垂直于过这点的半径(如果没有这条半径，就作出半径)，如果不知道直线是否过圆上一点，就过圆心作这条直线的垂线段，证明垂线段等于半径. 变式训练　如图，AD是☉O的直径，AB为☉O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C在OP上，且BC＝PC. (1)求证：直线BC是☉O的切线； (2)若OA＝3，AB＝2，求BP的长. [解析]　(1)连接OB. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA， 又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP. ∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°， ∴∠OBC＝180°－(∠OBA＋∠CBP)＝90°. ∵点B在☉O上， ∴直线BC是☉O的切线. (2)连接DB.∵AD是☉O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴Rt△ABD∽Rt△AOP， ∴，即，∴AP＝9， ∴BP＝AP－AB＝9－2＝7. 探究点2　三角形的内切圆和内心 典例2　如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆☉O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC. (1)求证：直线DM是☉O的切线； (2)若DF＝2，AF＝5，求BD的长. [解析]　(1)连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD， ∴，∴OD⊥BC. 又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC， ∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM， ∴OD⊥DM. 又∵OD为☉O的半径， ∴直线DM是☉O的切线. (2)由(1)知，∴∠DBF＝∠DAB， 又∵∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB， ∴，即DB2＝DF·DA. ∵DF＝2，AF＝5，∴DA＝DF＋AF＝7，∴DB2＝DF·DA＝14， ∴DB＝. 【名师点睛】三角形的内切圆的圆心就是内心，它到三角形三边的距离相等，它与各顶点的连线平分各内角. 三、板书设计 切线的判定与三角形的内切圆 ◇教学反思◇ 　　在本节课教学中，坚持以学生为主，把课堂还给学生，让学生自主选学、自由组合、运用学法、合作探究、自主选择题目练习和表达方式，充分发挥学生自身的积极性、能动性、创造性，通过灵活运用多种教学策略，培养学生逻辑推理能力，突破本节课的重难点. 1 立足安徽 精准备考 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$