2.5 二次函数与一元二次方程-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

2.5　二次函数与一元二次方程 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能说出二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程根的情况关系，并能熟练的判断二次函数与x轴的交点个数. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学的数形结合思想. 3.应用数形结合思想，体会二次函数与一元二次方程的联系，并形成自己的思维体系. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 判断二次函数与x轴的交点个数，求二次函数与x轴的交点坐标. 【教学难点】 利用数形结合思想判断二次函数与x轴的交点个数，求二次函数与x轴的交点坐标. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t ＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系是h＝gt2，那么，小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法? 二、合作探究 探究点1　二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的关系 典例1　若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为1，2，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线 (　　) A.x＝1 B.x＝2 C.x＝ D.x＝－ [解析]　∵方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为1，2，∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝. [答案]　C 变式训练　如图是y＝ax2＋2x－1的图象，那么ax2＋2x－1＝0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标 (　　) [答案]　C 探究点2　二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的情况的关系 典例2　已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B两点. (1)求b，c的值. (2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点?若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由. [解析]　(1)把点A(0，3)，B分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 (2)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3. Δ＝－4××3＝＞0， ∴二次函数y＝－x2＋x＋3的图象与x轴有公共点. ∵－x2＋x＋3＝0的解为x1＝－2，x2＝8， ∴公共点的坐标是(－2，0)和(8，0). 【技巧点拨】y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点、一个交点、没有交点，就可以得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根、有一个实根、没有实根，反之亦然. 变式训练　已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方? [解析]　(1)当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝m＋3. 当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根. ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点. (2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6， ∴当2m＋6＞0时，m＞－3. 即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 探究点3　二次函数与不等式 典例3　如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；③x(ax＋b)≤a＋b；④a＜－1.其中正确的有 (　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 [解析]　∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＋c＝2a－2a＋c＝c＞0，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－1，0)右侧，∴当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，故②正确；∵当x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，∴ax2＋bx≤a＋b，故③正确；∵直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴当x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a＋3b＋c＜－3＋c，而b＝－2a，∴9a－6a＜－3，解得a＜－1，故④正确. [答案]　A 　　二次函数与不等式(组)的关系：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用数形结合的思想求解，既可以由函数值的范围确定自变量的范围，也可由自变量的取