2.4 第2课时 最大利润问题及其他实际问题-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

第2课时　最大利润问题及其他实际问题 ◇教学目标◇ 　　1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题；初步掌握用二次函数的图象和性质解决最大利润问题的一般步骤和方法. 2.经历用二次函数解决实际问题的过程，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数模型解决实际问题. 3.通过研究生活中的实际问题，体会数学建模的思想，激发学生的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 【教学重难点】 构建数学模型——二次函数，并利用二次函数的图象和性质解决最大利润问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大? 引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧. 二、合作探究 探究点1　最大利润问题 典例1　某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x/(元·千克－1) 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 (1)求y与x之间的函数表达式. (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本). (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少? [解析]　(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b， ∴解得 即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200. (2)由题意，可得W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000， 即W与x之间的函数表达式是W＝－2x2＋280x－8000. (3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，40≤x≤80， ∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大； 当70≤x≤80时，W随x的增大而减小； 当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800. 答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当70≤x≤80时，W随x的增大而减小；当售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元. 　　解决最大利润问题的基本思路：(1)根据实际问题列出二次函数关系；(2)根据二次函数的增减性和最值，求出实际问题中的最大利润. 探究点2　抛物线形物体的二次函数问题 典例2　某游乐园圆形喷水池中心的喷水头离地面的高度为 m，其喷出的水柱呈抛物线状，喷出的水柱距池中心4 m处达到最高，高度为6 m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的表达式； (2)试求喷出的水柱落地点A离池中心O的距离. [解析]　(1)由题意设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋6， 将代入，得＝a(0－4)2＋6， 解得a＝－， 故该抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋6. (2)由题意，当y＝0时，0＝－(x－4)2＋6， 解得x1＝10，x2＝－2(不合题意舍去). 答：喷出的水柱落地点A离池中心O的距离为10 m. 探究点3　其他实际问题 典例3　某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. (1)利用函数表达式描述橙子总产量与增种橙子树的棵数之间的关系式； (2)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系； (3)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上? [解析]　(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x＋100)棵橙子树， ∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子， ∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600－5x)个橙子. 设果园橙子的总产量为y， ∴y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000. (2)图象如图所示. (3)由题意及(1)得y＝－5x2＋100x＋60000＝60400， 整理得x2－20x＋80＝0， 解得x1＝10＋2，x2＝10－2. ∵抛物线对称轴为直线x＝10， ∴增种6到14棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60400个以上. 三、板书设计 最大利润问题及其他实际问题 ◇教学反思◇ 　　本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应.体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程. 本节课采用“引导—