2.2 第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k的图象与性质-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

第2课时　二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k的图象与性质 ◇教学目标◇ 　　1.由第1课时的结论推广，得出函数y＝ax2的图象与性质； 2.能够利用描点法画函数y＝ax2＋k的图象，能够说出y＝ax2＋k图象的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值情况. 3.经历探索二次函数y＝ax2＋k图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验； 4.通过合作交流，能够从多个角度看问题，比较准确地理解二次函数y＝ax2＋k的性质. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 作出函数y＝ax2＋k的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝ax2＋k的性质. 【教学难点】 由y＝x2的图象及性质，用类比的思想学习y＝ax2＋k的图象及性质，并能比较出它们的异同点. ◇教学过程◇ 一、复习导入 1.二次函数y＝x2的图象是　　　　，它的开口向　　　　，顶点坐标是　　　　，对称轴是　　　　，在对称轴的左侧，y随x的增大而　　　　，在对称轴的右侧，y随x的增大而　　　　，函数y＝x2在x＝　　　　时，取得最值，其最　　　　值是　　　　.   2.二次函数y＝x2＋2的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们之间有没有什么关系呢? 二、合作探究 探究点1　二次函数y＝ax2的图象 典例1　(1)用描点法在同一坐标系中画出y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象. (2)比较上述图象，抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系? (3)根据你的研究结果，请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y＝x2的图象. [解析]　(1)y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象如图所示. (2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小. (3)平面直角坐标系中近似画出函数y＝x2的图象如图虚线所示. 探究点2　二次函数y＝ax2的性质 典例2　已知点(－3，y1)，(1，y2)，(，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　　　　.  [解析]　方法一：把x＝－3，1，分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1＞y3＞y2. 方法二：作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1＞y3＞y2. 方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a＞0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1).又∵3＞＞1，∴y1＞y3＞y2. [答案]　y1＞y3＞y2 　　比较二次函数中函数值大小的方法 ①代入求值法； ②图象法； ③增减性比较法. 当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较. 探究点3　二次函数y＝ax2＋k的图象 典例3　在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2＋1与二次函数y＝－x2－1的图象. (1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； (2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点. [解析]　如图. (1)相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴；不同点是：y＝x2＋1开口向上，顶点坐标是(0，1)，y＝－x2－1开口向下，顶点坐标是(0，－1). (2)性质的相同点：开口程度相同. 性质的不同点：对于函数y＝x2＋1，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； 对于函数y＝－x2－1，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小. 　　二次函数y＝ax2＋k的图象是抛物线，a的正负决定了开口方向，a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下，y＝ax2＋k的对称轴是y轴(x＝0)，顶点坐标是(0，k). 变式训练　二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　) A.抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 [答案]　D 探究点4　二次函数y＝ax2＋k的性质 典例4　已知抛物线y＝ax2＋n与抛物线y＝－2x2的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3. (1)求a，n的值； (2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2的开口方向、对称轴及顶点坐标. [解析]　(1)∵抛物线y＝ax2＋n与抛物线y＝－2x2的形状相同， ∴a＝±2. ∵抛物线y＝ax2＋n的图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3， ∴当a＝2时，n＝3；当a＝－2时，n＝－3. (2)当a＝2时，抛物线为y＝2x2，开口向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是(0，0)； 当a＝－2时，抛物线为y＝－2x2，开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是(0，0). 　　二次函数