1.6 利用三角函数测高-(教案)【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年九年级下册数学北师大版（安徽）

1.6　利用三角函数测高 ◇教学目标◇ 　　1.进一步理解直角三角形中的边角关系；能自制测倾器、设计活动方案，用锐角三角函数解决测量物体高度的问题.运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程. 2.能对测量的结果进行分析校正，能综合运用锐角三角函数的知识解决问题，培养学生的应用意识和动手能力. 3.通过“测量物体的高度”这一活动过程，理论与实际相结合，培养学生集体合作的能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 自制测倾器、设计活动方案，解决测量物体的高度的问题. 【教学难点】 理论与实际相结合，解决测量物体的高度问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 　　如图，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达.已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角). (1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图； (2)写出计算BD高度的式子. 二、合作探究 探究点1　塔的高度 典例1　如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺，测倾器(即测角仪). (1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A，D间距离，用m表示；如果测D，C间距离，用n表示；如果测角，用α，β，γ等表示.测倾器高度不计)； (2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG.(用字母表示) [解析]　方案一：(1)如图1，测四个数据：AD＝m，CD＝n，∠HDM＝α，∠HAM＝β. 图1　　　　　　　　　　图2 (2)设HG＝x，HM＝x－n， 在Rt△HDM中，tan α＝，∴DM＝， 在Rt△HAM中，tan β＝，∴AM＝. ∵AM－DM＝AD，∴＝m， ∴x＝＋n. 方案二：(1)如图2，测三个数据：CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ. (2)设HG＝x，HM＝x－n， 在Rt△CHG中，tan γ＝，∴CG＝， 在Rt△HDM中，tan α＝，∴DM＝. ∵CG＝DM，∴，x＝. 　　测量物体的高度，一般可分为底部可以到达和底部不可到达两种，要根据具体的条件灵活选择要测量的量，对于复杂问题，一般通过作高线，构造出直角三角形，从而可以利用解直角三角形解决问题. 变式训练　如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30 cm，灯罩BC长为20 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少?(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.732) [解析]　过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，如图. 易知四边形BFDG为矩形，∴BG＝FD. 在Rt△BCF中，∠CBF＝30°， ∴CF＝BC·sin 30°＝20×＝10. 在Rt△ABG中，∠BAG＝60°， ∴BG＝AB·sin 60°＝30×＝15. ∴CE＝CF＋FD＋DE＝CF＋BG＋DE＝10＋15＋2≈38.0. 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0 cm. 探究点2　河的宽度 典例2　如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任取一点A，再在河的另一岸边取两点B，C，测得∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，量得BC的长为20 m，求小河的宽度.(结果保留根号) [解析]　过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∠ABC＝60°， ∴BD＝AD. 在Rt△ACD中，∠ACB＝30°， ∴CD＝AD， ∴BC＝BD＋CD＝AD＝20， ∴AD＝5. 答：小河的宽度为5 m. 变式训练　如图，为了测量某条河的宽度，先在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C，测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米.求河的宽度.(结果保留根号) [解析]　过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC， 设AD＝DC＝x，则tan 30°＝， 解得x＝50(＋1). 答：河的宽度为50(＋1)米. 三、板书设计 利用三角函数测高 →→ ◇教学反思◇ 　　这节课在前面已研讨过设计方案的基础上，分组进行了实地测量，使我们所学的数学知识应用到了实践中.整节课，每个小组的成员都能积极地投入到活动中，在活动中积极想办法，团结协作，克服困难，高效地完成了活动课题，并在活动结束后，整理了活动过