吉林省长春市2024届高三上学期质量监测（一）数学试题

长春市 2024 届高三质量监测 (一) 数学20231109 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5分， 共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的。 1. 若集合，则 A． B． C． D． 2. 复数 A． B． C． D． 3. 已知单位向量的夹角为 ，则 A． B． C． D． 4. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时， A. B. C. D. 6. 椭圆上有两点，分别为椭圆的左、右焦点，△是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为 A． B． C． D． 二、选择题:本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分. 9. 小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在 10 月 2 日下午女子跳水 1 米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是 A. 平均数约为38.6 B. 中位数约为38.75 C. 第40百分位数约为35.6 D. 上四分位数约为42.6 10. 已知，则 A． B． C． D． 11. 已知正方体的棱长为 1，下列说法正确的是 A. 若点为线段 上的任意一点，则 B. 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为 C. 异面直线与所成角为 D. 若点为体对角线上的动点，则的最大值为 12. 已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是 A. 的周期为4 B. C. D. 三、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 曲线 在点处切线的方程为 . 14. 某学校有两家餐厅,某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐,如果第1天去 餐厅，那么第 2 天去餐厅的概率为 0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为 0.4，则该同学第 2 天去餐厅的概率为 . 15. 已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的 两条渐近线的交点分别为. 若△为直角三角形,则等于 . 16.如图所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质. 图 2 是根据图 1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图. 在图 2 中，每根弦都垂直于轴，相邻两根弦间的距离为 1，雁柱所在曲线的方程为 ，第根弦(，从左数首根弦在轴上，称为第 0 根弦) 分别与雁柱曲线和直线交于点与，则 . （参考数据：取） 四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在△中，为边上中线，. (1) 求△的面积； (2)若，求. 18.(本小题满分 12 分) 已知首项为 1 的数列，其前项和为，且数列是公差为 1 的等差数列 ( ). (1) 求的通项公式; (2)若，求数列的前项和. 19. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥中，，为点在平面上的射影，为的中点. (1) 证明: 平面; (2)若，求平面 与平面 夹角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 过抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，. (1) 求抛物线的方程; (2) 过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上. 若是，求出该直线的方程; 否则，说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检方案的摸球实验. 在一个不透明的箱子中放入10 个小球代表从一批产品中抽取出的样本(小球除颜色外均相同)，其中有个红球()，代表合格品，其余为黑球，代表不合格品，从箱中逐一摸出个小球，方案一为不放回摸取，方案二为放回后再摸下一个规定: 若摸出的 个小球中有黑色球，则该批产品未通过抽检. (1) 若采用方案一，，求该批产品未通过抽检的概率; (2)(i) 若，试比较方案一和方案二，哪个方案使得该批产品通过抽检的概率大?并判断通过抽检的概率能否大于90% ? 并说明理由. (ii) 若，现采用 (i) 中概率最大的方案，设在一次实验中抽得的红球为个，求的分布列及数学期望. 22. (本小题满分 12 分) 已知为 上的增函数. (1)求; (2) 已知且，证明:. 2 / 2 学科网（北京