第一章§ 8三角函数的简单应用-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

重避手细高中数学必修第二册S> §8 三角函数的简单应用 重点和难点 课标要求 1,应用三角函数模型解决问题时，首先要把实际问题抽象为 重点：利用三角函数模型探求数据；建立三 数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立造适当 角函数模型，刻画并解决实际问题， 的三角函数模型。 难点：三角函数模型在实际生活中的广泛 2.在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始性及变 应用 化趋势这两个方面来考虑 01必备知识梳理一。 基础桥理 特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟 知识点1利用三角函数模型解决实际问题 这种运动状态 1,求解三角函数应用题的一般步骤 (2)三角函数在实际生活中的圆周运动问 (1)审题：理解题意，认真领悟文字语言和 题中的应用：物体的旋转显然具有周期性，因 图形语言中的数学本质，分清已知与未知，画 此也可以用三角函数来模拟这种运动状态， 出示意图. (3)三角函数在生活中的周期性变化问题 (2)建模：根据审题所得到的信息，把实际 中的应用：大海中的潮汐现象、日常生活中气 问题抽象成数学问题，根据已知条件与求解目 温的变化、季节的更替等也具有周期性，因此 标，建立一个数学模型，如三角函数式、三角不 常常也用三角函数来模拟这些运动状态， 等式或三角方程等」 ®多因 (3)求解：利用所学三角函数知识，求得数 1.一般常用函数y=Asin(x十o)十b 学模型的解. 来刻画实际问题 (4)检验：检验上述所求的解是否符合实 2.解决三角函数的实际问题时，要注意： 际意义，从而得出实际问题的解， (5)还原：将所得结论转译成实际问题的 (1)自变量的取值范围 答案 (2)数形结合思想的运用. 解题思路如下： (3)认真审题，进行联想，选择适当的三 角函数模型 现实中的实际问题 数据收华、分析 角函数棋型 简化、抽象 数 (4)涉及较为复杂的数据时，计算要 译 精确. 检验 3.实际问题的背景往往比较复杂，需要 实际问题的解 布平数模型的解 综合多门学科的知识才能完成.因此，建立三 2.三角函数的常见应用类型 (1)三角函数在物理简谐运动问题中的应 角函数模型时，一定要结合相关学科的知识， 用：物体的简谐运动是一种常见的运动，它的 从复杂的背景中将基本的数学关系抽取出来 58 第一章三角函教么 雨难拓展 25 重难点1与周期现象有关的函数拟合问题 2 拟合模型的构建是通过对有关变量的观 15 测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式 10 而得到的.它的实质是数据拟合的精度和数学 0501001502002503003507 表达式简化程度间的一种折中，折中方案的选 (3)由散点图知白昼时间与日期序号之间 择取决于实际问题的需要。 关系近似为y=Acos(十p)十t,由图形知函 例1(2023·西安一中单元测评)下表是 数的最大值为19.4，最小值为5.4，即yms 阿拉斯加的安克雷奇一年中8天的白昼时间： 19.4,ymm=5.4. 日期 1月1日 2月28日3月21日 5月6日 19.4-5.4=14,.A=7. 小时 5.59 10.23 12.38 16.71 由19.4+5.4=24.8得t=12.4. 日期 6月21日 8月14日10月25日11月21日 .T=365, w36 π 小时 19.40 15.93 9.14 5.40 ..y=7cos (1)以日期在1年365天中的位置序号为 器+9+12.4 横坐标，描出这些数据的散点图， 当x=172时，c0s (3需+9=1.得-个 2π (2)用三角曲线去拟合这些数据. 9值为 2π×172 (3)确定一个满足这些数据的余弦函数. 365 y-12.4=cos 「2π(x-172)1 (4)用(3)中的余弦函数模型估计安克雷 7 365 奇7月3日的白昼时间 (4)7月3日即x=184时，y≈19.4， 解析](1)(2)如图所示. 即7月3日的白昼时间约为19.4小时 门-02关健能幼提升。3 题型方法 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时 题型1已知三角函数模型的实际问题 离开平衡位置的位移分别是多少？ 1.已知三角函数解析式的实际问题 (3)经过多少秒，小球往复运动一次？ 例②已知弹簧上挂的小球做简谐运动 解析列表如下，简图如图所示， 时，小球离开平衡位置的距离x(单位：cm)随时 1 5π 12 间（单位：s)的变化规律为s=4si血(2u+)1 21+号 3x ∈[0，十∞)，用“五点法”作出这个函数在一个 周期内的简图，并回答下列问题： 0 0 0 (1)小球在开始运动(t=0)时，离开平衡位 置的位移是多少？ （1D将1=0代入=4sim(2+)得s 59 国雕手册高中数学必修第二册？S己 4sin=2√5cm.以竖直向上为