第一章§ 7正切函数-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第一章三角函散收 §7正切函数 重点和难点 课标要求 1.了解正切函数的定义， 重点：正切函数的定义：正切函数的诱导公式 2.掌握正切函数的诱导公式 难点：1，用“三点两线法”作正切函数的图象 3会用“三，点两线法”作正切函数的图象。 2.正切函数的定义城、值城及相关性质。 4.会求正切函数的定义域、值域、周期、单调性， 01必备知识梳理 基础梳理 函数 y=tan x 知识点1正切函数的定义与诱导公式 L.正切函数的定义 图象 (正切 根据函数的定义，比值0是x的函数， 37 曲线) 称为x的正切函数，记作y=tanx,其定义域 为x∈Rx≠受+km,k∈Z。 定义域 若在角a的终边上任取一点Q(x,y)(x≠ 值域 R 周期性 最小正周期是示 0),则tana= x 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 2.正切函数的诱导公式 单调性 在每一个开区间（一受十红，+x)(k∈ tan(kπ十a)=tana(k∈Z); Z)上单调递增 tan (-a)--tan a: 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为 tan(π十a)=tana: 对称性 (经，oez tan (x-a)=-tan a; tan(经ta) 1 0月 tana 1正切函数在每一个开区间（一受十， tan(-a- 1 tan a 乏十m)(k∈)上单调递增，但不能说正切 其中角α为使等式两边都有意义的任 函数在整个定义域内单调递增. 意角 2.正切曲线的对称中心不一定在正切曲 知识点2正切函数的图象与性质 线上 1.正切函数的图象与性质 3.正切函数没有最大值、最小值 49 国雕手册高中数学必修第二册？S心 2.正切函数图象的作法 的单调性相同（反），解不等式可得出其单调 (1)正切曲线的渐近线 区间. 正切曲线是由被相互平行的直线x=乏十 (6)对称性：函数y=Atan(ur十o)的图象 是中心对称图形，其对称中心的横坐标满足π十 kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些 kπ 直线称作正切曲线各支的渐近线。 一受(k∈刀，故其对称中心坐标为 [注意]正切曲线与渐近线无限接近但不 (k∈Z):其图象无对称轴， 相交 (2)“三点两线法”作图 例①画出函数y=2tan 2t-)在x 我们可以根据“三点”(0,0)，（一牙，一1） [0,2π]上的简图 点拨利用“三，点两线法”求解即可，注意 (至，1儿“两线（直线x=艺和直线x=一） 先求出渐近线的方程。 作出y=tanx,x∈（一受，受）的大致图象 里令2-晋-受十，k∈五.可得1 重雅拓展 3x+2kx,k∈Z, 重难点1正切型函数y=Atan(x十p)(A≠ 0,w≠0)的性质 又x∈[0,2x],所以x=是该函数图象 (1)定义域：将+g视为一个整体，令 的一条渐近线方程 x十p≠kx十受，k∈乙，解得x的取值范围. 当x=0时y=2am(-)=-2: (2)值域：R. 当x=元时，y=21an牙=2： (3)周期性：函数y=Atan(r十)A≠ 当x=2x时，y=2tan 3=-2. 4 0,w≠0，r十9≠受十km,k∈Z的周期与常数 令2一至-m,ke乙得-受+2m,ke乙 。的值有关，最小正周期T=高 由于x∈[0,2x],故当x=时，y=0, (④奇偶性：当9经（∈D时为奇函数。 描点(0，-2).(x,2),(经0小(2x,-2) 否则为非奇非偶函数， (5)单调性：将ax+9视为一个整体，若 画虚线x=,根据正切曲线的趋势画出简圈， w<0,一般先用诱导公式把x的系数化为正 如图所示. 值，然后利用整体代换的思想和正切函数的单 调性求单调区间.当A>0(A<0)时，函数y= Atan(x+p)(A≠0，u>0,or+9≠2+kx, 2π k∈Z的单调性与y=tan≠受十kr,k∈Z) 50 第-章三角函教收组 例☑(2023·湖南长郡中学单元检测)函 区间为停-开经+)∈D. 数y=2tan(3.x+牙)-5的定义域为 室{r≠+k∈Z:(管-开 单调递增区间为 解机函数的自变量x应满足3江+牙≠ +)∈zD. 易0点 kx+受k∈， 正切型函数y=Atan(x十p)(A≠0， 故x≠+∈0， u≠0)的图象的作法：首先令十9=吾十红 故画数的定义践为≠弩+是：∈Z (k∈Z),结合x的已知范围，确定对应的渐 近线方程：然后计算所给区间左、右端点对 由于y=tanx在（一受+km,5+km(k∈ 应的函数值，若已知x∈[a,b们，计算oa十g Z)上是增函数 及ab十9，不妨设aa十g<ab十9，则在[aa十 故kx-2<3x+<kr十(k∈， P,ob十p]内找到等于士平十x(k∈Z)或 所以-<<+k∈， (k∈Z)的对应的x值，并求出相应的y值： 再画出渐近线（虚线），描出对应的