28.1锐角三角函数第一课时讲义2022-2023学年人教版九年级下册数学

锐角三角函数 要点诠释 锐角三角函数的概念 如图1，在Rt△ABC中，，∠A所对的边BC记为a，叫作∠A的对边，也叫作∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫作∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫作斜边。 锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作，即； 锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作，即； 同理，，。 要点诠释 1.正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值。角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化。 2.，，分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积。书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如），其正切应写成“”，不能写成“”；另外，，，常写成，，。 3.任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在。 4.由锐角三角函数的定义知：当角度在间变化时，，，。 【例1】如图2，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）。 A. B. C. D. 【变式训练1】如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）。 A. B. C. D. 【变式训练2】如图4，在中，，。若，则________。 【变式训练3】在锐角中，，，，求： （1）的值； （2）的值。 【变式训练4】知的一边AC为关于的一元二次方程的两个正整数根之一，且另两边长为，，求。 要点诠释 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出、、角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° （1）通过该表可以方便地知道、、角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角。 （2）仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）。 【例2】计算的结果为（ ） A. B. C.1 D. 【例3】在中，如果、满足，那么_________。 【变式训练5】计算： 【变式训练6】在中，，则锐角的度数为_________。 【变式训练7】已知中的与满足。 （1）试判断的形状； （2）求的值。 【变式训练8】对于钝角，定义它的三角函数值如下： ， （1）求，，的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是，A、B是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小。 要点诠释 锐角三角函数之间的关系 如图5，在中，。 （1）互余关系：； （2）平方关系：； （3）倒数关系：或； （4）商数关系：。 【例4】中，，，则_________。 【变式训练9】已知，则_________。 【变式训练10】同角三角函数的基本关系为：，。利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则_________。 【变式训练11】已知，则_________。 【变式训练12】若为锐角，则_________。 【变式训练13】已知：实常数a、b、c，d同时满足下列两个等式：①②（其中为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：_________。 要点诠释 三角函数有如下公式 ， ， ，合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如。 【例5】。类似地，可以求得的值是_________。 【变式训练14】请耐心阅读，然后解答后面的问题： 上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：，。一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般。其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识。你是否和小明一样也有想法了?下面考考你，看你悟到了什么： （1）根据你的猜想填空：_________，_________。 （2）尽管角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出的值。 【变式训练15】如图6，在中，，，。 （1）求BC的长； （2）利用此图形求的值。（精确到0.1，参考数据：，，） 【变式训练16】某校数学兴趣小组在探究如何求，的值，经过自主思考、合作交流讨论，得到以下思路： 思路一：如图7，在中，，，延长CB至点，使，连接AD。设，则，。 。 思路二：利用科普书上的有关公式： ； ； 。 例如，代入差角正切公式： 思路三：在顶角为的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 请解决下列问题（上述思路仅供