第一章§ 5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第一章三角函散么组 §5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 重点和难点 课标要求 1.了解用单位圃画正弦曲线的方法 2.掌握用“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五 重点：1，用“五点法”作正、余弦西数点法”作出简单的正、余弦曲线。 的图象 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系。 2.正、余弦函数的性质。 4,会求函数y=sinx,y=cosx的定义域，掌握函数y=sinx,y 难点：用单位圆及三角函数的定义作0sx的周期性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性。 正、余弦函数的图象。 5.学握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函 数的值域和最值 6.掌握y=sinx:y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小 门01-必备知识梳理-。 基础梳理 的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数 知识点1正弦函数和余弦函数的图象 y=sinx,x∈[0,2π]的图象 1.正弦函数、余弦函数的定义 sin,x∈0,2x] 3 实数集与角的集合之间可以建立一一对 2π 应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的 正弦（或余弦）值.这样，任意给定一个实数x, 图1 有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应.由 要想得到函数y=sinx,x∈R的图象，可 这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y= 以将x轴从2π到4π，从4π到6π，…各段进 cosx)叫作正弦函数（或余弦函数），其定义域 行等分，以上述画法继续画下去，但更简便的 是R 方法是将函数y=sinx,x∈[0,2x]的图象向 2.正弦函数、余弦函数图象的画法 (1)12等分圆周画图法：如图1，在平面直 左或向右每次平移2π的整数倍个单位长度， 角坐标系的x轴上取一点O,以O为圆心，单 即得到y=sinx在R上的图象，如图2所示. 位长为半径作圆，从⊙O与x轴的交点A起， 理论论据：sin(x+2kπ)=sinx,k∈Z. yy=sin.R 把⊙O分成12等份.过⊙O上各分点作x轴 的垂线，得到对应于0，晋，号受…，2x等角的 图2 正弦线.相应地，再把x轴上0到2π这一段分 成12等份.把角的正弦线向右平移，使它的起 根据诱导公式cosx=sim(+),可知 点与x轴上的点(x,0)重合，再把这些正弦线y=cosx的图象可由y=sinx的图象向左平 27 重雅点手细高中数学必修第二册？S心 移5个单位长度得到（如图3所示）. 2.用“五点法”作出函数y=sinx,x∈ y4y=cosx,x∈R [0,2π]的图象后，将其向左、向右平移（每次 -3二开元35x -6x --2102x46m 平移2π的整数倍个单位长度)，可得到函数 y=sinx,x∈R的图象. 图3 3.熟记正弦函数、余弦函数图象中起关 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别 键作用的五个，点，注意两者的不同 叫作正弦曲线和余弦曲线。 4.一般地，要得到y=f(x士a)(a>0)的 (2)五点画图法：按照列表（如下表）、描 图象，只需将函数y=f(x)的图象向左或向 点、连线三个步骤进行，连线时要记得正弦曲 右平移a个单位长度即可(“左加右减”). 线和余弦曲线的模样 知识点2正弦函数和余弦函数的性质 x 0 2 2 2π 正弦函数与余弦函数的图象与性质见 y=sin x 0 0 -1 0 下表： y=cos 1 0 函数 y=sin y-cost 作函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的图象， 如图4所示. 4 图象 2元 2π f(x)=sinx: D 定义域 R R xEL0.2πJ 值域 [-1.1] [-1.1] 图4 周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π 在函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的图象 奇偶性 奇函数 偶函数 上，x=0,x= 2x=元，x= 2,.x=2x对应的五 增 +2km,受+2km 2 [-x+2kr,2kπ] 个点是关键点 单 间 (k∈Z) (k∈Z) 恩黑领 性 [2kr,π+2kπ] 区 [受+2m,+2 1.作正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图 (k∈Z (k∈Z) 象时，其中起关键作用的是函数y=sinx, 当x=晋+2kxk∈D 当x=2张π(k∈Z) x∈[0,2π]与x轴的交点、最高，点和最低点 时，yamx=1: 这五个，点.这五个点称为正弦曲线的特征 最值 时，ymw=1: 当x=+2kx(k∈ 当x=x十2kπ(k∈ 2 点，在x轴上的三个点是曲线上凸、下凹的 Z)时，yn=一1 Z)时，3yain=一1 转折点，而最高，点和最低，点是函数单调性的 转折点.利用“五点法”作图时，只要描出这 对称中心：(kπ，0)(k 对称中心：(x十受 五个点，在x轴上方的两点间曲线向上凸， ∈Z): 对称性