第一章§ 4正弦函数和余弦函数的概念及其性质-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第一章三角函散么组 §4正弦函数和余弦函数的概念及其性质 重点和难点 课标要求 重点：任意角的正弦西效和余弦函数 1.理解任意角的正弦函数和余弦函数的定义， 的定义，诱导公式 2,能通过单位圆理解正弦函数（余弦函数）的一些简单性质， 难点：1.单位圆与正孩函数（余弦函 3.掌握正弦函数值和余弦函数值的符号。 数)的定义城、最大（小）值。 值域、周期性、单调性， 4.了解诱导公式与对称、诱导公式与旋转的关系，熟练掌握诱导公 2.正弦函致值和余弦函数值的 式的运用， 符号. 5.会运用诱导公式求解任意角的正弦函数值和余弦函数值， -01必备知识梳理。 基础梳理 3.任意角的三角函数的拓展 知识点1任意角的三角函数 设角a的终边上除原点外的一点Q(x, 1.锐角的三角函数 0.则sina=,0sa-号其中=VF+. 如图1，在Rt△OMP中，OP=1,OM=u, 色用饭 MP=v,则有如下表格： 1.任意角的三角函数是在平面直角坐标 a的三角函数 定义 系中定义的，角的范围是使函数有意义的实 正弦 sin a-MP 数集。 2.三角函数的记号是一个整体，离开α 余弦 cos a= OM OP 1 的sin和cos是无意义的，如sina表示的是 一个比值，而不是sin与a的积 P(,) 3.由于角的集合与实数集之间可以建立 a 一一对应关系，所以三角函数可以看成是自 M 变量为实数或其子集的函数， P(u.v) 4.三角函数值是一个比值，是一个实数， 图1 图2 这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位 2.任意角的三角函数 置无关，而由角α的终边位置决定对于确定 如图2，给定任意角α，作单位圆，角α的终 的角α，其终边的位置也是唯一确定的。 边与单位圆的交点为P(u,),点P的纵坐标 知识点2正弦函数和余弦函数的性质 、横坐标u都是唯一确定的，则有如下表格： 1.定义域和值域 a的三角函数 定义 记法 形式 三角函数 定义域 值域 正弦 sin a v=sin a y=sinr R [-1,1] 余弦 cos a u=cos a y=cosx R [-1,1] 17 国随食手册高中教学必修第二册S卫 2.单调性和最值 它们之间的关系可以归纳为如下表格： 三角 正弦数值和 函数 y=sin x y=cos 参 对称性 余弦函数值的关系 (1)单调递增区间： (1)单调递增区间： +2kx,牙+2kx】 sin (-a)=-sin a, L2 [-x+2kπ，2kπ](k a与一a 关于x轴对称 cos (-a)=cos a (k∈Z): Z): 性 (2)单调递减区间： (2)单调递减区间： sin(a士r)=-sina, a与a士π 关于原点对称 [2kπ，π+2kπ](k∈ cos(a±π)=-cosa 受+2k,+2kx] Z sin (x-a)=sin a. (k∈Z) a与x-a 关于y轴对称 cos(π-a)=-cosa (1)当.x=开+2kπ(k∈ (1)当x=2kπ(k∈Z) )时，正弦函数取最大 时，余弦函数取最大 )0点 值1： 值1： 1.两个角的终边关于x轴对称曰正孩 最值 (2)当x=-受+2km (2)当x=π+2kx 函数值相反，余弦函数值相等。 (k∈Z)时，余弦函数 (k∈Z)时，正弦函数取 2.两个角的终边关于原点对称一正弦函 取最小值一1 最小值一1 数值相反，余弦函数值相反 3.正弦函数值和余弦函数值的符号 3.两个角的终边关于y轴对称曰正弦 sina,cosa在各个象限的符号如图所示. 函数值相等，余弦函数值相反， 2.诱导公式与旋转 (1)图1是角a与a十受，图2是角a与a一受 sina CO5度 知识点3诱导公式 P'(-, P(u.v) P(, 1.诱导公式与对称 图1是角a与一a,图2是角a与a士π， 2 图3是角a与π一a. P(,-） y 图1 图2 P 4, P(, M 它们之间的关系可以归纳为如下表格： P'(-,) 角 旋转性 正弦函数值和 余弦函数值的关系 图1 图2 y a与a十号 逆时针旋转号 sin(a+z）-cosa P'(-u. P(6,) cos(a+乏）=-sine sn(a-号 a与a一2 顺时针旋转受 cos(a-）=sina 图3 18 第-章三角函教医组 (2)对任意角a,下列关系式均成立（其中 sin[(2k+1)r十a]=sin(2kπ+π十a)=sin(rt k∈Z). a)=-sin a=(-1)2+sin a(kEZ). sin(a十2kx)=sina,cos(a十2kr)=cosa 综合(1)(2)可得sin(nπ十a)=(-1)"sina sin (-a)=-sin a,cos (-a)=cos a, (n∈Z). 2.cos(nπ