第五章§ 1复数的概念及其几何意义-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第五章 复数 §1复数的概念及其儿何意义 重点和难点 课标要求 重点：1，数系的扩充与复数的概念。 1,类比数的分类方法，以及类比向量的形式特征，感受复数 2.两个复数相等的条件 的分类与形式特征 3.复数的代数形式及其几何意义 2.类比向量的坐标表示，理解复数的几何意义与模的概念。 难点：复数的模与共轭复数， 3.类比向量相等，感受复数相等的充要条件 01必备知识梳理。 基础梳理 0e点 知识点1数系的扩充与复数的概念 数系逐步扩充的过程 1.复数的引入 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关， 为了解决x十1=0这样的方程在实数系 例如，计数的需要→自然数（正整数和零）》 中无解的问题，我们引入一个新数i,规定： 表示相反意义的量负鼓测量分配中的等分 (1)=-1,即i是方程x2+1=0的根： 如解方程x十3=1 如解方程3x=5 (2)实数与i进行四则运算时，原有的加 分数（分数集台有理数集台循环小数集） 法、乘法运算律仍然成立。 如解方程=2>无理数（无理数集曰无限 度量 在此规定下，实数a与i相加，结果记作 不循环小数集)》 a十i:实数b与i相乘，结果记作bi:实数a与实 数b和i相乘的结果相加，结果记作a十杭.注意 负数的开方 如解方程2=一1户复数. 到所有实数以及i都可以写成a十i(a,b∈R)的 4.复数的分类 形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 对于复数a十bi,当且仅当b=0时，它是实 2.复数的概念 数：当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0 形如a十bi(其中a,b∈R)的数叫作复数， 其中ⅰ叫作虚数单位.全体复数构成的集合C= 时，叫作虚数：当a=0且b≠0时，叫作纯虚数 {a+ia,b∈R}叫作复数集.这样，方程x2+ 显然，实数集R是复数集C的真子集，即 1=0在复数集C中就有解x=士i了. RC. 3.复数的表示 复数x=a十bi(a,b∈R)可以分类如下： 复数通常用字母≈表示，即之=a十bi(a, 实数(b=0): 复数 b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a十bi都 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. 有a,b∈R,其中a称为复数x的实部，记作 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的 Re之，b称为复数x的虚部，记作Im之 关系，可用下图表示 193 重随点手细高中数学必修第二册S> 虚数集 叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。 数共 (战轴) 纯虚数 实数集 除原点外，虚 Z:4- 轴上的点都表← 电方 示纯成数 (实轴) 1.若复数2=a十bi(a,b∈R)是虚数，只 Oa 需b≠0. 实轴上的点都表示实数 2.若复数之=a十bi(a,b∈R)是实数，只 2.复数的几何意义一与点对应 需b=0. 每一个复数，在复平面内有唯一的一个点 3.若复数z=a十bi(a,b∈R)是纯虚数， 和它对应：反过来，复平面内的每一个点，有唯 一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复 需a=0且b≠0. 平面内的点是一一对应的，即复数=a十 知识点2复数相等 这是复数 在复数集C={a十bia,b∈R}中任取两个 一对应复平面内的点Z(a,b) 数a+bi,c十di(a,b,c,d∈R),我们规定：a日 的一种几何意义. bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d,即当且 用果 仅当两个复数的实部相等且虚部相等时，两个 理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 复数才相等， 1.复数的实质是有序实数对. 2.复平面内的，点Z的坐标是(a,b),而 果板 1.应用复数相等的充要条件时，应先将 不是(a,i).也就是说，复平面内的虚轴上的 复数化为=a+i(a,b∈R)的形式，即分离 单位长度是1，而不是1 实部和虚部。 3.当a=0,b≠0时，a十bi=0十bi=bi是 2.只有当a=c且b=d的时候才有a十 纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示 bi=c十di,当a=c和b=d有一个不成立时， 纯虚数， 就有a+bi≠c+di. 4.复数之=a十i中的之，书写时应小写： 3.由a十i=0,a,b∈R,可得a=0且b=0. 复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 知识点3复数的几何意义 3.复数的几何意义一与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都 1.复平面 可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对 根据复数相等的定义，可得复数x=a十i 与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量 （a,bER)一对应，有序实数对(a,b),而有 来表示复数 序实数对(a,)二一对应，平面直角坐标系中 如图所示，设复平面内 的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集 的点Z表示复数之=a十i, tZ:a+bi 之间可以建立一一对应关系 连接OZ,显然向量OZ由点Z 如图所示，点Z的横