第四章§ 3二倍角的三角函数公式-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

重避手细高中数学必修第二册BS> §3二倍角的三角函数公式 重点和难点 课标要求 1,能根据两角和与差的三角公式推导倍角公式 重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.能熟记倍角公式，并能进行简单的运算。 难点：半角公式 3.能用二倍角公式导出半角公式，并能进行简单的应用， 01业备知识梳理一。 基础出梳理 2.二倍角的“广义理解”：二倍角是相对 知识点1二倍角公式 L.二倍角公式 的，如4如是2a的二倍角，a是号的二倍角等， 令S+m,Ce+和Ttm中的B=a,得到： 二倍角是描述两个数量之间关系的，这里蕴 二倍角的正弦公式： 含着换元思想 sin 2a=2sin acos a, (S.) 3.对于S和Cs,a∈R,但是在使用T2 二倍角的余弦公式： 时，要保证分母1一tana≠0且tana有意 cos 2a=cos'asin'a, (C2) 义，即a≠km十平且a≠km一至且a≠km十罗 二倍角的正切公式： tan 2a= 2tan a (k∈Z).当a=km十平及a=km一开(k∈Z) 1-tan'a (T) 2.二倍角公式的推导 时，tam2a的值不存在，当a=k十受(k∈Z) sin (a+B)=sin acos B+cos asin B,= 时，tana的值不存在，故不能用二倍角公式 a时，有sin2a=2 sin acos a. 求tan2a,此时可以利用诱导公式tan2a cos(a十3)=cos acos B-sin asin3,当B tan(2a十kπ)=0(k∈Z)直接求解. a时，有c0s2a=cos2a-sin2a=2c0s2a 4.一般情况下，sin2a≠2sina,cos2a≠ 1(sin'a=1-cos2a),cos 2a=1-2sin2a 2cosa,tan2a≠2tana. (cos2a=1-sin2a). 5.倍角公式的逆用能开拓思路，我们要 tan (Itan atan tana十tan3 ,当B=a时，有 熟悉这组公式的逆用.例如sin3acos3a= 1 2tan a 2sin 6a. tan 2a- 1-tan'a' 知识点2半角公式 串 1.半角公式 1.这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名词时，“三”字等不可省略 sin=+ 1-08a 1+cos a 2 2 172 第四章 三角恒等查换 tan 1-cos a 1+cos a 2sim号 tan 2 2.半角公式的推导 cos2 2sinos号 (1)cos 2a=1-2sina- 代将2a,cosa=1一 1-cos a; ② 号代特e sin a 2sin2 a 1-cos a =士1+cosa tan 2 1-cos a ③ 2 (2)c0s2a=2c0sa-1:代替2么c0sa 2.有理表示式①②中，tan号的符号由 受代特。 sina确定，避免了符号的讨论，使用起来很 2cos2g-1→cosg=± /1+cos a 方便 2 3.公式①②③的适用范围： sin a (3)tan 2 1-cos a ①a≠(2k+1)π(k∈Z): 1+cos a' COS ②a≠kπ(k∈Z): 2 ③a≠(2k+1)π(k∈Z). 3.确定半角的正弦、余弦、正切公式符号 的原则 4.若已知cosa的值，求tan号的值可直 (1)若给出的角是某一象限的角时，要根 接应用公式③. 据下表确定符号. 5.重视得到结果的过程，从思考。与号 a 受 n号 cos a tan号 之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性， 第一象限第一，三象限 十、 十、 + 第二象限 第一，三象限 十、 + 思考cosa与sin2号之间的关系. 第三象限 第二、四象限 十、一 一、十 6,使用公式时要深刻体会。与号的含义， 第四象限 第二、四象限 十、 、十 (2)若给出角α的范围（即某一区间）时，可 如2a与aa十日与时学都可看成倍半关系 2 先求出的范围，然后再根据号所在的范围来 重难拓展 确定符号。 重难点1万能公式 (3)如果没有给出确定符号的条件，则在 根号前保留正负两个符号. sina=2sin号o 2sin号cos号 2 角0目 os号十si号 L.半角正切公式的有理化： 21am号 2sin分os号 tan 1+tar号 2 cos 2 2cos号 sin a c0sa=cos”g -sin2 a co2号-sim号 1十cosa ① 173 国雕手细高中数学必修第二册S> 1-tan2 a A- C.2D.-2 1+tamr号 解析，α是第三象限角， “受是第二、四象限角。六tan受<0， tan a= 1-tan? 2 1-tan? 2 4 由上可知，只要求出某一个角的半角的正 '.cos a= 1十iam号 切值，就可以