第四章§ 1同角三角函数的基本关系-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第四章 三角恒等变换 §1同角三角函数的基本关系 重点和难点 课标要求 重点：L.能通过三角函数的定义推导出同角三角 1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成 函数的基本关系式 立的条件，形式及公式的变形，在理解的基础上记忆 2.理解同角三角函数的基本关系式 2.理解并记忆相应的求值，化简以及证明的模型，领会 难点：能运用同角三角函数的基本关系式进行三 解题时常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形运用 角函数式的化简、求值和证明。 01以备知识梳理一。 基础梳理 ®刀质 知识点1同角三角函数的基本关系式 1.注意“同角”，这里“同角”有两层含义， 1.同角三角函数的基本关系式 一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函 基本关系式 语言描述 数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的 平方 同一个角《的正弦、余 表达形式无关.如sin3a十cos23a=1成立， sin'a+cos a=1 关系 弦的平方和等于1 但是sina十cos2B=1就不一定成立. 商数 sin atan a 同一个角a的正弦、余 C05& 2.注意同角三角函数的基本关系式都是对 关系 (cosa≠0) 弦的商等于角a的正切 于使它们有意义的角而言的，sina十cosa=1 2.关系式的变形 sina+cos2a=1→ 对一切a∈R恒成立，而ana=ng仅对 cos a sin'a=1-cosa: a≠5十kxk∈Z)成立. cos a=1-sina; sina=±√/1-cosa: 3.两个公式体现的是同角三角函数的基 本关系，其中平方关系体现的是同一个角的 cosa=±√1-sina: 1(sina士cosa)2=1±2 sin acos a. 正弦与余弦之间的关系；商数关系体现的是 tana=sng(cosa≠0)→ 同一个角的正弦、余弦和正切之间的关系。 cos a 4.sina与sina2的区别：前者是角a的 sin a=tan acos a: 正弦的平方，读作“sina的平方”：后者是角a cosa=sine(tana≠0). tan a 的平方的正弦.两者是截然不同的. 154 第四章三角恒等查换么 雨雅拓展 y=(x十y)(x2-xy十y2)、立方差公式x 重难点1同角三角函数的基本关系的关联恒 y2=(x一y)(x2+xy十y2)降幂、变形，再结合 等式 sina十cos2a=1化简. (1)tana= sin'a:sin'a tan'g (4)sina十cosa-tana十1 1-sin'a 1+tan a sin a-cos a tan a-1; tan'a=1-cos'a 1 (sina十cosa)2_tana十1 sina十cosa .利用sina十 cos a cos a-1+tan'a sin'a-cos a tan a-1'sin a-cos a cos'a-1,再结合tana=g,就可得到上述 tan'a+1 cos a tan'a-1' tana与sina,cosa的关系， 变形的关键是利用分子分母的齐次结构， (2)(sin a+cos a)2=1++2sin acos a;(sin a- 通过各项同除，再利用tama=sin整体消元. cos a cos a)2=1-2sin acos a; “利用等量关系消元”“对等式进行代数运 (sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; 算”这些代数变形的方法技巧，同样也适用于 (sin a+cos a)2-(sin a-cos a)2= 三角关系的变换， 4sin acos a. 对代数式sina士cosa平方升幂，再利用 例1若sina十cosa 2,则tana+ tan a sina十cos2a=1,即可得到上述sina十cosa, sina一cosa,sin acos a这三个代数式之间的 关系 部窃周为s血a十c0s。-两边同时平 (3)sina+cosa=(sin a+cos a)(1- 方得(sina十cosm)2=号，即1十2 sin acos a号 sin acos a): 1 sin'a-cos a=(sin a-cos a)(1++sin acos a): 2,所以sin acos= sin'a+cos'a=1-2sin'acos a: 1 sine十cos&= sin'a-cos a=sin'a-cos a=(sin a+ 因此tana十 tan a cos a sin a cos a)(sin a-cos a). sina十cosa= 1 =4」 得到上述关系式的关键是利用平方差公 sin acos a sin acos a 式x一y=(x十y)(x一y)、立方和公式x2十 答亲4. 口02-关建能力提升。 题型方法 例