第二章 § 6平面向量的应用-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第二章平面向量及其应用么9 §6平面向量的应用 重点和难点 课标要求 重点：1.余弦定理、正弦定理及其 1,学握余弦定理、正弦定理及其变形. 证明。 2.掌握余弦定理、正孩定理的证明方法 2.利用余弦定理、正弦定理解 3.掌握三角形的面积公式及其应用. 三角形 4.能利用余弦定理、正弦定理解决相关问题 难点：1，解三角形在实际问题中的 5.通过例题学习如何利用余弦定理、正弦定理解决测量问题，通过 应用。 列举生活中的例子了解余弦定理、正弦定理在生活中的实际应用。 2.三角形面积公式的应用. 6.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际 3.向量在几何证明中的应用. 问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的有力工具，提升运算能 4.向量在物理中的应用举例 力、分析和解决实际问题的能力 01必备知识梳理。 基础梳理 当a2+<c2时，cosC<0,则C是钝角， 知识点1余弦定理 反之亦然： 1.余弦定理 当a2+>c2时，cosC>0,则C是锐角， 定理：三角形中任何一边的平方等于其他 反之亦然 两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦 综上得C>90°台c2>a2+b:C=90°曰 的乘积的两倍.即 c2=a2+b:C<90°=→c2<a2+b2. a2=b2+c2-2bccos A. 散品成 b2=a2+c2-2accos B. 1.勾股定理指出了直角三角形中三边平 2=a2+b2-2abcos C. 方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 2.余弦定理的变式 (1)cos A=-a 2be -,cos B=at- 形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股 2ac 定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 cos C=a-c 2.余弦定理的表达式中，含有三边和其 2ab 中一边的对角这四个元素，可以利用方程的 (2)62+c2-a2=2bccos A,a2+c2-2= 观点，知三求一 2accos B,a2+62-c2=2abcos C. 3.运用余弦定理时，因为已知三边（求 3.余弦定理与勾股定理的关系 由余弦定理知： 角)或已知两边及夹角（求第三边），由三角形 当a+b=2时，cosC=0,则C是直角， 全等的判定定理知三角形是确定的，所以解 反之亦然： 是唯一的 121 国雕手册高中数学必修第二册？S心 知识点2正弦定理及其证明 2R,即A2R 1,正弦定理 定理：在一个三角形中，各边和它所对角 同理可证名B2R,C=2R 的正弦的比相等，并且其比值为这个三角形外 b 接圆的直径，即 ‘sin A sin Bsin C=2R b sin A sin B sin C=2R. 2.正弦定理的证明 证明：方法一（用几何法证明） c B D (1)当△ABC是锐角三角形时，如图1，连 图3 图4 接BO并延长交圆O于点A',连接A'C,则 方法二（用三角函数的定义证明） ∠A'CB=90°，∠A'=∠A. 教材中已给出当△ABC为直角三角形和 在R△AC中气-AB. 锐角三角形时正弦定理的证明，下面给出当 △ABC为钝角三角形时正弦定理的证明 ÷=C=B=2R(其中R为 如图4，设∠ABC为钝角，过点C作AB 的垂线与AB的延长线交于点D,由三角函数 sin A=2R. △ABC外接圆的半径)，即a 的定义得CD=bsin A, 同理可证B2R, 'sin C=2R. .CD=asin(180°-∠ABC)=asin∠ABC, .∴bsin A=asin∠ABC, 6 A sin B sin C=2R 即.a b sin A sin∠ABC B 同理可得Asin ACB b 图1 图2 sin A-sinABC sin∠ACB (2)当△ABC是直角三角形时，如图2，不 ®果线 纺设∠A为直角，则品品BC=m: 对正弦定理的理解 6 m恰为△ABC外接圆的直径，即m=2R,即 .正孩定理A品BC指出了 b 任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的 sin A-sin B-sin C=2R. 一个关系式.已知三角形的任意两个角与一 (3)当△ABC是钝角三角形时，如图3，不 边可计算出另两边和第三个角：已知三角形 妨设∠A为钝角，连接BO并延长交圆O于点 的任意两边和其中一边的对角可计算出其他 A',连接A'C,则∠ACB=90°，A'=180°-A. 边和角。 'sin A-AB, 在R△A'BC中，BC 2.正弦定理是解三角形的重要工具，其 主要作用是将已知条件中边的关系转化为角 BC sinC-sin (180-A-sin A-AB- BC 的关系或者将角的关系转化为边的关系， 122 第二童平面向最及其应用么出组 知识点3正弦定理的变式及简单应用 续表 应用的 边化角公式 a=2Rsin A,b=2Rsin B.c=