第二章 § 5从力的做功到向量的数量积-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

重避手细高中数学必修第二册BS> §5 从力的做功到向量的数量积 重点和难点 课标要求 重点：1.平面向量的数量积及数量积的坐 1,向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时应注 标表示 意对比，明确在数的乘法中成立的结论在向童的数量积中是否 2.数量积表示两个向量夹角的坐标 成立. 运算 2.学习本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两 3.平面向量模的坐标运算. 难点：1.平面向量的数量积与向量投影的 种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据. 关系. 3.通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示进行类 2,平面向量的数量积的性质及运算律 比，培养联想的记忆方法 01必备知识梳理。 基础杭理 规定零向量与任一向量的数量积为0. 知识点1平面向量数量积的物理背景及定义 3.投影的概念与几何意义 L1.平面向量数量积的物理背景 如图1，已知两个非零向量a和b,作OA= 如图，一个物体在力F的作用下发生了一 a,OB=b,过点A向直线OB作垂线，垂足为 段位移s,就说这个力对物体做了功.那么力F A',得到a在b上的投影v=OA,v称为投影 对物体做的功为W=|Fs cos0,其中0是F 向量 与s的夹角。 acos(a,b)称为投影向量v的数量，也称 为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表 示为a·b b 由向量投影的定义可以得到向量的数量 混个思 积a·b的几何意义：b的长度b与a在b方 1.功W是一个数量，不仅与力、位移的 向上的投影数量acos0的乘积（如图2）：或a 大小有关，且与它们之间夹角0的余弦值有关 的长度a与b在a方向上的投影数量1bcos0 2.当0°≤0<90时，W>0,即力F做正 的乘积， 功：当0=90°时，W=0,即力F不做功：当 90°<0≤180°时，W<0,即力F做负功. 2.平面向量数量积的定义 00 lalcos日A,B 已知两个非零向量a和b,向量a与b的 b AB b 夹角记为(a,b》或(0°≤≤180).abcos0 图1 图2 称为a与b的数量积（或内积），记为a·b,即 按照投影的定义，非零向量b在a方向上 a.b=la bcos(a,b)=abcos 0. 的投影数量为bcos(0是a与b的夹角)，其 110 第二童平面向量及其应用收组 具体情况，我们可以借助下面的表格进行分析： 传段 0的范围 0-0 0°<90 0=90 向量的数量积、向量的数乘、实数的 8 乘法之间的区别 图形 OA B a b 0a4 向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法 O B 0 b在a方向 正数 正数 0 a·b=0→a,b至 上的投影数量 少有一个为0或a=0(A∈R)ab=0→a,b至 cos 0 cos 0=1 c0s0>0 c050=0 ab=受 →x=0或a=0少有一个为0 a·b a·b>0 a·b>0 a·b=0 0的范制 90°<A180 0=1809 a·b=b·c>b B 0或a-c或(b.a=b(入∈R)ab=bc>a=。 >a=b或λ=0或b=0 图形 ! b a aA BOA a-e)=号 BO (a·b)·c与a·(Am)a=A(ia】 b在a方向 (ab)c=a(bc) 负数 负数 (b·c)不一定相等(a∈R,m∈R) 上的投影数量 cos 0 cos (0 cos 0=-1 2.数量积的性质 a·b a·b<0 a·b<0 1)若e是单位向量，则a·e=e·a= 知识点2平面向量数量积的运算性质 la cos(a.e); 1.数量积的运算律 (2)若a,b是非零向量，则a·b=0台a⊥b: 对于任意向量a,b,c和实数入： (3)a·a=a2,即a=√a·a: (1)交换律：a·b=b·a: (2)与数乘的结合律：a(a·b)=(a)·b= 4msa.b=88(a≠0： a·(b): (5)a·b≤ab,当且仅当a∥b时等 (3)关于加法的分配律：(a十b)·c=a· 号成立（当a与b同向时，a·b=a川b,当a c+b·c. 与b反向时，a·b=-alb1). ®果城 包金布 分配律的证明 以上五条性质都可以用向量数量积的定 如图，任取一点O, 义和几何意义来证明，应在理解的前提下去 作OA=a,AB=b,OC= b B 记忆. c.a十b在c方向上的投 1.对于性质(1)，主要涉及单位向量的运 影数量，等于a与b在cO号 A c BC 算，其意义是任何一个向量与单位向量的数 方向上的投影数量的和， 量积是这个向量在单位向量方向上的投影 即a+b·cos0=al cos+|b cos 0,其中 数量 0为a+b与c的夹角，A为a与c的夹角， 2.利用性质(2)可以解决有关向量的垂 为b与c的夹角， .c la+bl cos 0