第二章 § 4平面向量基本定理及坐标表示-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第二章平面向最及其应用收出9 §4平面向量基本定理及坐标表示 重点和难点 课标要求 1.平面向量基本定理既是本节的重点，又是本节的难，点。 重点：1，平面向量基本定理 2.为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向 2.向量的坐标表示 及模的大小作图观察入1，入：取不同值时的图形特征，得到平面上任一向 3.平面向量的加法、减法与数量都可以由这个平面内两个不共线的向量，表示出来， 乘运算的坐标表示， 3.在△ABC中，AC与AB的夹角和CA与AB的夹角互补. 4,平面向量共线的坐标表示。 4.学习本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母 难点：1.平面内所有向量的一组基 表示法、坐标表示法。 2.正交分解的概念 5.向量的坐标运算是一种代数运算，其加法、减法及数乘运算的实 质是同名坐标之间的运算， 01必备知识梳理。 基础梳理 (2)唯一性，即对任一向量a,存在唯一一 知识点1平面向量基本定理 对实数入1,2，使a=A1e1十2e2. 1.平面向量基本定理 事实上，若存在1，入2∈R,,2∈R,且 如果e,e2是同一平面内的两个不共线的 a=λ1e1十2e2,a=e1十e2, 向量，那么对该平面内的任意一个向量a,存在 则入e十入e2=出e十e2,即（入一出）G= 唯一的一对实数入1，入2，使a=入e1十入2e2. 我们把不共线的向量e,叫作表示这一 2-A2)e2. 平面内所有向量的一组基，记作{e,e2}. ,e1与e2不共线， 2.定理的证明 .入1一4=0，一2=0. 平面向量基本定理包括两个方面的内容： .λ1=1，入2=2 (1)存在性，即存在实数入，e,使a=入e十 3.定理的实质 e2.如图1，对于向量a和一组基{e1,e2},首 由平面向量基本定理知，可将任意向量a 先将a,e1,e2都平移到同一个起点O,且令e= 在给出基{e,e2}的条件下进行分解—平面 OA,e=OB,a=OC,然后过点C分别作OA和 内的任意向量都可以用平面内任意不共线的 O店所在直线的平行线，交OA,O所在的直线 两个向量线性表示，这就是基本定理的实质。 于M,N两点，如图2，则有OM=e,ON= λ2e2,所以a=入1e1十λ2e2. 4.定理的功能 平面向量基本定理体现了化归转化的数 学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们 e. e 0 M 可以适当地选择基，将问题涉及的向量向基化 图1 图2 归，使问题得以解决。 99 重避手细高中数学必修第二册BS> 的用很 对平面向量基本定理的理解 1.基不唯一，只要是同一平面内的两个 不共线的向量，都可以作为基.同一非零向 量在不同基下的分解式是不同的. 2.基给定时，分解形式唯一.入1，λ2是被 图1 图2 a,e1,e唯一确定的数值. (2)平面向量与有序实数对的对应关系 如图2所示，在平面直角坐标系中，以原 3.若e1,2是同一平面内所有向量的一 点O为起点作OA=a,则点A的位置由向量a 组基，则当a与e1共线时，A2=0;当a与e2 唯一确定. 共线时，1=0：当a=0时，λ1=2=0. 设OA=xi+,则向量OA的坐标(x,y) 4.由于零向量与任何向量都是共线的， 就是终点A的坐标：反过来，终点A的坐标 因此零向量不能作为基中的向量， (x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直 知识点2平面向量的正交分解及坐标表示 角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有 1.平面向量的正交分解 序实数对唯一表示 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基 伪号板 为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正 1.①式是根据平面向量基本定理得出来 交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位 的，因此x,y的值是唯一确定的， 向量，则称这组基为标准正交基.如图所示，重 2.向量的坐标表示是继向量的儿何表示 力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交 和字母表示后的又一表示方法，向量的坐标 分解 表示实际上是向量的代数表示 3.几个特殊向量的坐标：i=(1,0),j (0,1).0=(0.0). 4.由向量的坐标定义知，两向量相等等 70nn7 价于它们的坐标相等，即a=b台x1=x2且 2.平面向量的坐标表示 y=,其中a=(x1y),b=(2). (1)平面向量的坐标表示 3.点的坐标与向量的坐标的区别与联系 如图1所示，在平面直角坐标系中，分别 表示 取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j 形式 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点 作为基.对于平面内的一个向量a,由平面向量 不同 A(x,y)中间没有等号 基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得 点A(r,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直 a=xi+yj. ① 角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)