第二章 § 3从速度的倍数到向量的数乘-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

重避手细高中数学必修第二册BS> §3 从速度的倍数到向量的数乘 重点和难点 课标要求 1.与实数的乘法运算类似，向量的数乘运算也有“结合律”“分配 重点：1.向量的数乘运算与运算律 律”，运用向量数乘的运算律时，要注意其几何意义 2.向量的数乘与向量共线的 2.向量的加法，减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向 关系 量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础。 难点：1，向量数乘运算的几何意义 3.向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何 2.三点共线的判定定理与性质 中三点是否共线和两直线是否平行，注意区别向量平行与直线平行. 定理 4.学习了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以用向量 表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础 01必备知识梳理。 基础梳理 2.向量的数乘的几何意义 知识点1向量的数乘运算与运算律 如图，由实数与向量数乘a的定义可以看 1.向量的数乘的概念 出，它的几何意义是： 实数入与向量a的乘积是一个向量，记作 当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方 a,满足以下条件： 向仲长或缩短为原来的入倍： (1)当入>0时，向量a与向量a的方向 当入<0时，表示向量a的有向线段在反方 相同： 向伸长或缩短为原来的入倍 当入<0时，向量a与向量a的方向相反： 当A=0时，0a=0. 入4 (2)a=aa. 这种运算称为向量的数乘。 >0<0 切后 3.单位向量 1.一般地，实数入与向量a的积是一个 由向量数乘的定义容易推出，在非零向量 向量，这种运算叫作向量的数乘，记作，它 是一个向量 a方向上的单位向量是合。 2.特殊情况：当入=0或a=0时，加=0， 它表明一个非零向量除以它的模（即乘以 反之亦成立，即a=0时，λ=0或a=0.最容 它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向 易出错的是当入=0或a=0时，把向量a看 的单位向量，这一过程称为向量的单位化 作实数0. 4.数乘运算的运算律 3.实数入与向量a可以进行数乘运算， 设入，以为实数，a,b为向量，那么根据向量 但不能进行加减运算，如A一a,入十a无意义， 数乘的定义，可以得到以下运算律： 92 第二章平面向量及其应用么9 (1)(十)a=a十a. 其中AB称为直线！的方向向量， (2)入(a)=()a. 重难拓展 (3)a(a+b)=a+b. 重难点1三点共线定理 卧果因 1.三点共线的判定定理 1.(-1)a=-(a)=(-a), 对于平面内任意三点A,B,C,都可以写成 入(a-b)=a-b. AB,AC,BC的形式，若存在一个实数入，使得 2.对于任意向量a,b以及任意实数入， AB=AAC(或AB=1BC或AC=λBC),则根 内，恒有入a士b)=a士入b. 据共线向量基本定理可知向量AB,AC共线 5.向量的线性运算 (或AB,BC共线或AC,BC共线).又由它们具 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通 有公共点A(或B或C)可知A,B,C三点共 常称为向量的线性运算（或线性组合）.若一个 线.所以我们有三点共线的判定定理： 向量c由向量a,b的线性运算得到，如c=2a十 对于平面内任意三点A,B,C,O为不同于 3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示 A,B,C的任意一点，设OC=λOA+aOB,若 知识点2向量的数乘与向量共线的关系 实数入，4满足入十=1，则A,B,C三点共线. 1,共线（平行）向量基本定理 事实上，由入十以=1，可得入=1一，代入 给定一个非零向量b,则对于任意向量a, 0心-λOA+:O店中可得O元=(1-)OA+ a∥b的充要条件是存在唯一一个实数入，使 aOi,即O元-OA=(Oi-OA),因此AC a=Ab. uAB,从而A,B,C三点共线， 月限司0 2.三点共线的性质定理 1.对任意两个向量a,b,若存在不全为 根据共线向量基本定理及三点共线的判 零的实数对(，)，使a十b=0,则a与b 定定理不难得到三点共线的性质定理：若平面 共线.证明如下：若a,b中至少有一个为零向 量，显然成立.若a,b均为非零向量，不妨设 内三点A,B,C共线，O为不同于A,B,C的任 意一点，设OC-入OA+红O元，则存在实数入，4 ≠0，则b=-a,说明a与b共线. 使得入十=1. 2.若向量a,b不共线，当a十b=0时， 事实上，若A,B,C三点共线，则一定存在 一定有1==0. 实数m,使得AC-mAB.即O心-OA=m(O店 2.直线的向量表示 -OA),从而OC=(1-m)OA十mOB,令A= 如图，已知A,B两点确AB P i 1-m,=m,则入十=(1一m)十m=1. 定一条直线，直线！上任意一点P所对应的 综上，我们得到如下的三点共线定理：已 向量A户与向量AB平行，从而A户可