第二章 § 1从位移、速度、力到向量-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

第二章 平面向量及其应用 §1从位移、速度、力到向量 重点和难点 课标要求 1,向量是一个既有大小又有方向的量，大小和方向是向量的 重点：L,向量的概念 两个要素，这是必须要注意的一点。 2.零向量、单位向量、向量的模的 2.在向量的表示方法中，用宇母表示向量时要注意书写规 概念 范，用有向线段表示向量时与有向线段的起，点无关，等长且同向 3.相等向量、相反向量、平行向量、共 的有向线段表示同一向量 线向量的概念。 3.向量共线与线段共线不同. 难点：向量的夹角， 4,注意相反向量与相等向量的区别 5.会求简单向量的夹角，求解时注意向量的方向. 01-必备知识梳理 盘础梳理 数量， 知识点1向量及其表示 尚通待 1.向量的物理背景 向量不同于数量，向量不仅有大小，而且 (1)物理上，物体受到的重力是竖直向下 还有方向，大小是代数特征，方向是几何特 的，物体的质量越大，它受到的重力越大：物体 征，因为方向没有大小之分，所以向量不能比 在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在 较大小.数量只有大小，可以比较大小，“大 液体中的体积越大，它受到的浮力越大：速度、 于”“小于”的概念对数量是适用的. 加速度与位移都是既有大小又有方向的量.物 3.向量的表示方法 理学中把既有大小又有方向的量称为矢量 (1)有向线段的概念 (2)只有大小，没有方向的量，如年龄、身 ①如图所示，在线段AB B(终点) 高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学 的两个端点中，规定一个顺 中称为标量显然，矢量和标量的区别就在于 序，假设点A为起点、点B为 A(起点) 有无方向. 终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的 2.向量的概念 线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处 (1)向量：在数学中，把既有大小又有方向 画上箭头表示它的方向.以点A为起点、点B 的量叫作向量， 为终点的有向线段记作AB.注意起点写在终 (2)向量的两个要素：向量的大小和向量 点的前面 的方向，二者缺一不可. ②已知AB,线段AB的长度也叫作有向 (3)数量：只有大小，没有方向的量叫作 线段AB的长度，记作AB.有向线段包含三 77 国雕手册高中数学必修第二册？S心 个要素：起点、方向、长度 (2)单位向量 (2)向量的几何表示 模等于1个单位的向量，叫作单位向量， 知道了有向线段的起点、方向和长度，它 果个@ 的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方 向量相关概念的理解 法有： 1.定义中的零向量、单位向量都只限制 ①起点是A,终点是B的有向线段，对应 长度，不确定方向 的向量记作AB, 2.当有向线段的起点A与终点B重合 这里要注意AB的方向是由点A指向点 时，AB=0. B,点A是向量的起点.用有向线段表示向量， 3.要注意0与0的区别及联系，0是一 表明了向量的几何特征，同时为利用向量解决 个实数，0是一个向量，且有0川=0. 几何问题奠定了基础. 4.在平面内，所有单位向量的起点平移 ②用字母a,b,c,…表示向量（一定要规范 到同一点，则它们的终点可构成一个半径为 书写：印刷用黑体a,书写用d) 1的圆. ③向量AB(或a)的大小，也就是向量AB 知识点2向量的基本关系 (或a)的长度（或模），记作AB(或|a). 1.相等向量 作色我 (1)长度相等且方向相同的向量叫作 有向线段和向量的区别与联系 相等向量.若向量a与向量b相等，记作a=b. 向量 有向线段 显然，零向量与零向量相等，任意两个相等的 (1)有向线段有起 非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且 (1)向量有大小和方向 点、方向、长度三个 与有向线段的起点无关。 区别 两个要素：(2)向量是 要素：(2)有向线段 可以自由平移的 (2)两个向量只有当它们的模相等，同时 是固定的线段 方向又相同时，才能称它们相等.例如，a=b就 有向线段是向量的几何表示（注意这并不是 意味着a=|b,且a与b的方向相同. 说向量就是有向线段)，一条有向线段对应 联系 2.平行向量 着一个向量，但一个向量对应着无数多条有 向线段 方向相同或相反的非零向量叫作平行向 量.如果a,b,c是非零向量且方向相同或相反， 4.向量的模 则可记作a∥b∥c. AB引（或a)表示向量AB(或a)的大小， 3.共线向量 即长度（也称模） 由于向量与起点无关，因此向量是可以自 [注意]任意向量a的模都是非负实数，即 由移动的.也就是说，任一组平行向量都可以 al≥0. 移动到同一直线上，因此，平行向量也叫作 5.两个特殊向量 共线向量规定零向量与任一向量共线 (1)零向量 如图1，a,b,c是一组平行向量，任作一条 长度为0的向量叫作零向量，记作0.规定 与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点 零向量的方向是任意的。 O,则可在l