第2章有理数及其运算（知识清单+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）-【满分全攻略】2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第2章有理数及其运算（知识清单+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 考点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【例1】若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________． 【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全. 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 【变式1】（2022秋•崇川区期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　） A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5 【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0， 当a＞0、b＞0时，且＝2+3＝5． 当a＞0、b＜0时，且＝2﹣3＝﹣1． 当a＜0、b＞0时，且＝﹣2+3＝1． 当a＜0、b＜0时，且＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提． 【例2】如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值． 【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x、y的值代入代数式化简计算即可． 【答案与解析】 解：∵|x+3|+|y﹣4|=0， ∴x+3=0，y﹣y=0， 解得，x=﹣3，y=4， x+2y=﹣3+4×2=5． 【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键． 【变式1】已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值． 【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】 解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 ＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a2-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 【变式2】（2022秋•邗江区月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值． 【分析】先由绝对值性质得出a、b的值，再结合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，从而确定出a和b的值可能取值，再分别代入计算可得． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6， ∴a＝±4，b＝±6， 又|a﹣b|＝b﹣a， ∴a≤b， 则a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6， 当a＝4，b＝6时，a+b＝4+6＝10； 当a＝﹣4，b＝6时，a+b＝﹣4+6＝2； 综上，a+b的值为10或2． 考点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．