第4.2讲 指数函数-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 第4.2讲 指数函数 一、学习目标 1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握指数函数的图像与性质，初步学会运用指数函数解决简单问题，重点提升直观想象、数学运算核心素养． 3．能利用指数函数的性质解不等式，比较大小，重点提升数学运算核心素养． 4．指数函数与函数基本性质的综合应用，重点提升逻辑推理核心素养． 二、重点难点 1、指数函数概念的应用 2、指数函数的图像问题 3、指数函数的性质及其应用 三、核心知识 　指数函数的定义 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与x满足的函数关系式是什么？与二次函数y＝x2有什么区别？ 提示：y与x满足的函数关系式为y＝2x(x∈N*)，y＝2x与y＝x2的区别在于前者的自变量在指数位置上，而y＝x2的自变量在底数位置上． 　一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1，x是自变量． 　指数函数的图像与性质 1．函数y＝2x与y＝的图像及函数y＝3x与y＝的图像有什么关系？ 提示：函数y＝2x与y＝的图像关于y轴对称，y＝3x与y＝的图像也关于y轴对称． 2．指数函数图像的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ 提示：它们的图像都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数a大于1时图像上升，为增函数；当底数a大于0小于1时图像下降，为减函数． 3．指数函数图像过哪些定点？这与底数的大小有关系吗？ 提示：无论底数a＞1还是0＜a＜1，图像都过定点(0，1)。 指数函数的图像与性质 图 像 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域R，值域(0，＋∞) 图像都过点(0，1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝a－x的图像在同一坐标系中关于y轴对称 设x1，x2∈R，则f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2) 　指数函数的性质 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当底数变化时，各函数图像间有怎样的关系？ 提示：(1)当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快． (2)当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近x轴，递减速度越快． (3)底数互为倒数时，图像关于y轴对称． 2．当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候ax0＝bx0? 提示：由图像可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 三、核心例题 题型1 指数函数概念的应用 1．若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 4．已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 题型2指数函数的图像问题 6．函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 7．若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 9．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．函数y=2|x|的图象是（    ） A． B． C． D． 题型3指数函数的性质及其应用 11．已知，那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 13．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（    ） A． B． C． D． 14．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、 当堂达标 一、单选题 1．设，则（    ） A．　 B． C． D． 2．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已