第4.1讲 指数-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 第4.1讲 指数 一、学习目标 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握根式的性质及根式与分数指数幂的互化；掌握实数指数幂的运算法则，并能对代数式进行化简或求值，重点提升数学运算素养． 二、重点难点 1、根式的化简与求值 2、根式与分数指数幂的化简与求值 3、有关指数幂的条件求值 三、核心知识 　n次方根、算术根、根式 1．类比a的二次方根和三次方根的意义，如何定义a的n次方根？ 提示：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a.那么x称为a的n次方根． 2．类比二次方根、三次方根，猜想：当n为偶数时，一个实数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？ 提示：(1)当a为正数： (2)当a为负数： 零的n次方根为零，记为＝0. 1．n次方根的表示 (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 2．根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． ()n与的意义的理解 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 如＝－3，＝|－3|＝3. 　有理数指数幂 如果n∈N*，那么当有意义且a≠0时，如何用分数指数幂表示？如何表示？ 提示：＝a；＝6. 1．如果m、n∈N*，且n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：a＝． 2．若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝． 3．有理数指数幂的运算法则． asat＝as＋t， (as)t＝ast， (ab)s＝asbs． 　实数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？ 提示：无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小．一般来说，无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 1．当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．即当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义． 2．对任意实数s和t，有理数指数幂的运算法则仍然成立． 三、核心例题 题型1 根式的化简与求值 1．化简：（    ） A．1 B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中成立的一项是（    ） A． B． C． D． 4．化简（    ） A． B． C．2 D． 5．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型2根式与分数指数幂的化简与求值 6．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 8．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 9．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 10．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型3有关指数幂的条件求值 11．已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 13．已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 14．已知，求的值． 15．已知，且，求的值. 3、 当堂达标 一、单选题 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 3．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 6．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值是（    ） A．2 B．0 C． D．1 二、多选题 9．下列说法不正确的为（　　） A． B．若，则 C． D． 10．已知，则下列式子的值为整数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知，，则 （填数值） 12．化简 . 四、计算题 13．计算：； 14．（1）计算； （2）已知正实数x，y满足，求的最小值． 15．计算题 (1) (2)先