相似三角形模型压轴题综合训练（四）-2023-2024学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形模型压轴题综合训练（四） 一、填空题 1．如图，将正方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，为边的三等分点，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，则线段的长为 ．    2．如图，在矩形中，，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．      3．如图，矩形中，点P为边上一点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点Q恰好落在边上，平分交于点M．若，，则点P到直线的距离是 ．    4．如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点，则面积的最大值是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点．设点P为线段的中点，连接，若，则m的值是 ．    6．如图，四边形中，，E为线段的中点，连接交线段于F，若，则的长为 ．    7．如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为 ． 二、解答题 8．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心， (1)如图，在中，，，．点在上，点在上，以为边作菱形，点在线段上且，在及其内部，以点为位似中心，请画出菱形的位似菱形，且使菱形的面积最大（不要求尺规作图）；    (2)求（1）中作出的菱形的面积； (3)如图，四边形、是全等的两个菱形，、相交于点，连接、．请用定义证明：与位似．    9．【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：；    【尝试应用】 （2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长；    【拓展提高】 （3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．    10．已知等边中的边长为4，点P，M分别是边，上的一点，以点P为顶点，作，与直线交于点N． (1)依题意补全图1； (2)求证：； (3)如图2，若点P为中点，，求的长． 11．【模型】如图1，正方形，点在上，将绕点顺时针旋转得到，画出图形； 【运用】如图2，已知正方形中，点、分别在，上，，过点作于点，交于点，      （1）求证：． 【拓展】 （2）如图3，中点为，，，直接写出______ ． 12．问题提出  如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系. 问题探究   （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系. 问题拓展  将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.    13．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． (1)【问题引入】 请你在图1或图2中证明（选择一种情况即可）； (2)【探索发现】 在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 14．如图1，已知等边，点E、F分别在上，，交于点P．    (1)求的度数； (2)如图2，连，若，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，点N在直线上，若，直接写出周长的最小值． 15．已知在矩形中，，，是射线上的一点，与交于点，点在线段延长线上，且．    (1)如图，当点在边上时（不与点A、重合）， ①求证：； ②设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)如果射线与直线交于点，当时，求的长． 16．如图，已知矩形中，是边上一点，将沿折叠得到，连接． (1)初步探究 如图1，当，落在直线上时． ①求证：； ②填空：____________； (2)深入思考 如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，与交于点．求的值（用含的式子表示），并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，当，是的中点时，若，请直接写出的长． 17．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．    (1)当旋转到如图2所示的位置时， ①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出； ③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）． 18．综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给