14.3因式分解培优 讲义2023 -2024学年人教版 八年级数学上册

专题-因式分解培优讲义 例题1、因式分解： （1）a3﹣a； （2）4ab2﹣4a2b﹣b3； （3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）； （4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9． 【变式】把下列各式进行因式分解 （1）m（a﹣2）+n（2﹣a） （2）（x+y）2+4（x+y+1） （3）m（m﹣1）+m﹣1 （4）x2﹣2xy+y2﹣1． 例题2．若是多项式的一个因式，则 ． 例题3、观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ①ad﹣ac﹣bd+bc ②x2﹣y2﹣6x+9 （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 变式1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 例题4、阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 例题5．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：　 　．（直接写出结果） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 例题6．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式． (1)探究一： 将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________． (2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________； (3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） (4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________． (5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值． (6)类比以上探究，尝试因式分解：= ． 1．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可． 解：设x2+2x＝y． 原式＝y（y+2）+1（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2+2x+1）2（第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 　 　； ②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解； （2）请你模仿以上