一元函数的导数及其应用知识梳理-2024届高三数学一轮复习

一元函数的导数及其应用知识梳理 1.平均变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和； ②作商：对所求得的差作商，即 。 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 或 ，即f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的 .相应地，切线方程为 。 (3)用导数求曲线的切线注意两种情况： ①曲线在点处切线：性质：。 相应的切线方程是： 。 ②曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 [注意] ① 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. ② 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. (3)导数的物理意义 ①求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。 ②.V＝s/(t)　表示即时速度a=v/(t)表示加速度。 3.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数， 函数 ＝ 称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数. 4.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝ 特别地 f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ f′(x)＝ f(x)＝ax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 5.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝ ；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). (2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) (3)′＝ (g(x)≠0). (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 6.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 。 求导步骤： ①换元，令，则 ②分别求导再相乘 ③回代 [注意] ①f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. ②′＝－. 7.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 ；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 . [注意] ①当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 ②函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 8.函数的极值与导数 (1)极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x) 0， 右侧f′(x) 0 x0附近的左侧f′(x) 0， 右侧f′(x) 0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极 值 f(x