第九章 9.2 9.2.2　总体百分位数的估计-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

9.2.2　总体百分位数的估计 [学习目标]　1.结合实例，能用样本估计百分位数．　2.理解百分位数的统计含义． 知识点　百分位数的定义 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 提示：把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数，或80%分位数． 1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [微提醒]　(1)中位数相当于是第50百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．(2)第25，50，75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(3)第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． (多选)下列表述正确的是(　　 ) A.50%分位数就是总体的中位数 B．第p百分位数可以有单位 C．一个总体的四分位数有4个 D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 ABD　[一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误，ABD均正确．] 分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．　　方法技巧 即时练1.15%分位数的含义是(　　 ) A．总体中任何一个数小于它的可能性是15% B．总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15% C．总体中任何一个数大于它的可能性是15% D．总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15% B　[根据第p百分位数的定义可知B正确．故选B．] 应用一　由样本数据求百分位数 从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. 分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数． 解析：将所有数据从小到大排列，得 7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4， 则25%分位数是＝8.15， 75%分位数是＝8.75， 95%分位数是第12个数据为9.9. 学生用书↓第120页 计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤 第1步：按照从小到大排列原始数据． 第2步：计算i＝n×p%． 第3步：若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项和第(i＋1)项数据的平均数．　　方法技巧 即时练2.(2023·山东临沂一模)某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是(　　) 件数 7 8 9 10 11 人数 3 7 5 4 1 A.8.5　　　 B．9 C．9.5　　　 D．10 C　[抽取的工人总数为20，20×75%＝15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数为＝9.5，故选C．] 应用二　由频数(频率)分布表求百分位数 某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． (1)A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？ (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 生产能 力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 4 8 x 5 3 表2 生产能 力分组 [110，120) [120，130) [1