第七章 7.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 [学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 知识点一　复数的有关概念 请回答以下问题： 1．正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根． 2．我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 1．复数 定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1 表示 方法 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部 2．复数集 定义 全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集 表示方法 通常用大写字母C表示 [微提醒]　(1)i2＝－1；(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算；(3)在z＝a＋bi中不作特殊说明时a，b∈R. 若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－2i B.6i C.1 D.6 D　[z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6，故选D．] 方法技巧 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．　　 即时练1.复数1＋＝(　　) A.1＋2i B.1－2i C.－1 D.3 C　[因为i2＝－1，所以1＋＝1＋＝－1.故选C．] 知识点二　复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数，当b＝0时，z＝a＋bi(a，b∈R)为实数． 1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)． (1)z为实数⇔b＝0， (2)z为虚数⇔b≠0， (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0． 2．复数分类的集合表示 当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 解析：(1)当即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (3)当即m＝5时，z是实数． [变式探究] (变结论)若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解析：因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 方法技巧 复数分类问题的求解方法与步骤 1．化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　　 2．定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． 3．下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： (1)z为实数⇔b＝0； (2)z为虚数⇔b≠0； (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0； (4)z＝0⇔a＝b＝0.　　 即时练2.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　 ) A．1 B．2 C．1或2　　　 D．－1 B　[根据复数的分类知，需满足解得即a＝2.故选B．] 知识点三　复数相等 请回答以下问题： 1．两个实数可以比较大小，那么两个复数可以比较大小吗？ 提示：如果两个复数都是实数，可以比较大小；如果两个复数不都是实数，不能比较大小；只有相等或不相等的关系． 2．两个复数相等需要满足什么条件？ 提示：两个复数相等需要满足实部与虚部分别对应相等． 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d．特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0． [微提醒]　 两个虚数不能比较大小． (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值； (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． 解析：(1)由复数相等的充要条件，得解得 (2)设方程的实数根为x＝m， 则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以解得或 所以a＝11或a＝－. 方法技巧 复数相等问题的解题技巧 1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． 2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3．如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．　　 即时练3.复数z1＝