第六章 6.2 6.2.4　第1课时　两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2.4　向量的数量积 第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　2.掌握向量数量积的定义及投影向量．　3.会计算平面向量的数量积． 知识点一　两向量的夹角 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 1．夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. [微提醒]　两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°． 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°． 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°． 方法技巧 1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.　　 即时练1.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　 )　 A.30°　 B.60° C.120°　 D.150° C　[如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°．故选C．] 知识点二　两向量的数量积 物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 学生用书↓第13页 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b ⇔ a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. (5)cos θ＝. [微提醒]　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝ 是求向量的长度的工具． 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解析：(1)因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)因为与的夹角为120°， 所以·＝||||cos 120°＝1×1×(－)＝－. (3)因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 　方法技巧 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．　 即时练2.在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________． 解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 即时练3.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 解析：设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案： 知识点三　投影向量 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，与位移s方向一致的分力F1的大小是多少？ 提示：如图所示，F1的大小为|F|cos θ. 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量