第六章 6.2 6.2.3　向量的数乘运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2.3　向量的数乘运算 [学习目标]　1.了解向量数乘的概念．　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 知识点一　向量的数乘运算 如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 模 |λa|＝|λ||a| 续表 方向 λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a [微提醒]　(1)数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量． 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　 ) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C.＝·a D.＝· D　[依题意，λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ<0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，所以A、B错误；由数乘运算的长度的定义可知＝·，即C错误，D正确．故选D．] 方法技巧 对数乘向量的三点说明 1．λa中的实数λ叫作向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0，而不是0.　　 即时练1.(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是(　　 ) A.2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同 B．－的长度是a的长度的，且－与a方向相反 C．若λ＝0，则λa等于零 D．若λ＝，则λa是与a同向的单位向量 ABD　[对于A： 2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；对于B：－的长度是a的长度的，且－与a方向相反，故B正确；对于C：若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；对于D：若λ＝，则λa是与a同向的单位向量，故D正确．故选ABD．] 知识点二　向量的线性运算 类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律． 向量数乘 的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μ a)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb 学生用书↓第10页 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b [微提醒]　实数与向量可以求积，但不能求和或求差． (1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　 ) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 解析：(1)原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：(1)C　(2)4b－3a 方法技巧 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．　　 即时练2.计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解析：(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 知识点三　向量共线定理 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示：共线，存在． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [微提醒]　(1)向量共线定理中规定a≠0. (2)λ的值是唯一存在的． 设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，