第六章 6.2 6.2.2　向量的减法运算　-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2.2　向量的减法运算 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义．　2.掌握平面向量的减法运算及运算法则． 知识点一　向量的减法运算 在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数． 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． [微提醒]　(1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. (多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　 )　 A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 BCD　[相反向量的大小相等、方向相反，故A错误．故选BCD．] 方法技巧 向量的减法运算可看作向量加法与相反向量的综合．　　 即时练1.(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量与是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 BCD　[由相反向量的定义知B，D正确，且C正确，A错误，故选BCD．] 知识点二　向量减法的几何意义 如何进行向量的减法运算？ 提示：转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解析：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 方法技巧 求作两个向量的差向量的两种思路 1．可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． 2．可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　 即时练2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解析：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 学生用书↓第8页 应用一　向量的加减混合运算 化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． 解析：①＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. ②(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　 ) A.0　 B. C.　 D. A　[＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.] 方法技巧 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．　　 即时练3.化简下列各式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－)． 解析：(1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 应用二　向量加减法的综合应用 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解析：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b， 所以＝＋＝b－a＋c. 　 方法技巧 1．解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． 2．主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．　 即时练4. 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　 ) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c A　[＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.故选A．] 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a B．a＋b C．b－a D．a－b D　[＝－＝a－b.故选D．] 2．化简－＋＋等于(　　 ) A.　 B. C.　 D. B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B．] 3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　 ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 A　[由－＝－，可得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形．