第六章 6.1　平面向量的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．1　平面向量的概念 [学习目标]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一　向量的概念及几何表示 观察下面两个例子 1．学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2 000 m．从小明家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，位移都向北偏东方向移动了2 000 m(如图1)． 2．某著名运动员投掷标枪时，其中的一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速率为v＝28.35 m/s (如图2)． 请回答以下问题： 1．上述两个实例中反映的物理量有什么共同的特点？ 提示：上述反映的物理量为位移，速度，既有大小又有方向，在物理中称为矢量；与物理中的表示长度、面积、质量等只有大小的量不同． 2．在物理中，位移、速度、力通常用一条带有箭头的线段表示，箭头表示方向，线段的长度表示这些量的大小，而在数学中既有大小又有方向的量如何表示呢？ 提示：利用有向线段表示，有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小． 向量的概念及表示 定义 既有大小又有方向的量叫做向量．只有大小没有方向的量称为数量 表示方法 (1)几何表示法：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；如：以A为起点，B为终点的有向线段记作； (2)字母表示法：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，) 表示方法 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，如a，的模记作|a|，|| [微提醒]　(1)向量有两个要素：大小和方向． (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示． 给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有(　　) A.3个　 B.4个 C.5个　 D.6个 C　[质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．] 方法技巧 判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．　　 即时练1.(多选)下列说法中正确的有(　　 ) A．向量的模与向量的模相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关 D．向量的模可以比较大小 ACD　[向量的模与向量的模都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两者并不相同，故B选项错误；对于C： |a|与|b|分别表示向量a与b的大小，与a，b的方向无关，故选项C正确；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确．故选ACD．] 学生用书↓第2页 知识点二　零向量和单位向量 我们知道向量的模是表示向量的有向线段的长度，那么向量的模是否可以为0或1呢？模为0或1的向量如何定义呢？ 提示：可以为0或1；模为0或1的向量分别定义为零向量和单位向量． 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 [微提醒]　零向量的方向是任意的，|0|＝0. (多选)下列说法正确的是(　　 ) A．零向量可以是任意方向 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 ACD　[两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向是任意的，零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确．] 方法技巧 1．单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 2．在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆．　　 即时练2.(多选)下列说法中不正确的是(　　 ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 ABD　[零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选ABD．] 知识点三　相等向量与共线向量 请回答以下问题： 1．在物理学中，两个物体运动速度相等应满足什么条件呢？两个力相等应满足什么条件呢？ 提示：两个物体运动速度相等应满足它们的大小相等、方向相同；两个力相等应满足方向相同、大小相等、作用点相同． 2．在数学中，两个