第六章 习题课(一)　平面向量中的最值与范围问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课(一)　平面向量中的最值与范围问题 考点一　向量线性运算中的最值与范围问题 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值． 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1， 所以＝＋＝－， 所以＝m＋n＝m＋n＝＋n， 由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)， 所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时取等号)，即＋的最小值为. 　方法技巧 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．　 即时练1. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． 解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ). 又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)． 答案：(－1，0) 考点二　向量数量积的最值与范围问题 (2023·山东日照一模)已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则·的最大值为(　　) A.13　　 B.12 C.8　　 D.2 B　[以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB，DE交y轴于G，H，则C，F，A，B，G，E，D，H，设P，＝，＝，·＝x2＋y2＋2y＋2，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分， (1)当P在EH上时，则x∈，y＝，则·＝x2＋11≤12；(2)当P在AG上时，则x∈，y＝－，则·＝x2－1≤0；(3)当P在EF上时，则lEF：y＝，x∈，则·＝4x2＋18x＋26＝42＋≤12；(4)当P在AF上时，则lAF：y＝－，x∈，则·＝4x2＋6x＋2＝42－≤6.综上，所求最大值为12.故选B．] 方法技巧 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数、基本不等式等求最值或范围．　　 即时练2.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 解析：根据题意，可知DC＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立． 答案： 考点三　向量模的最值问题 向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，则|a－b|的最小值为________． 解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×|b|cos＋|b|2＝|b|2－|b|＋1＝(|b|－)2＋≥，所以|a－b|≥，当|b|＝时取得最小值． 答案： 即时练3.已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 解析：将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤()2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 答案： 考点四　向量夹角的最值问题 已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为________． 解析：因为|a|＝1，所以设a＝(1，0)，b＝(x，y)，所以b－a＝(x－1，y)，由2|b－a|＝b·a，得2＝x，则x>0，所以4(x－1)2＋4y2＝x2，所以y2＝－x2＋2x－1，所以cos θ＝＝＝＝＝＝，所以当＝1，即x＝1时，cos θ取最小值. 答案： 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．　　方法技巧 即时练4.已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　 ) A. B. C. D. C　[因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos〈a，b〉＝＝＝＝＝＝≤，当且仅当t＝时，等号成立，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈，即〈a，b〉的最小值为.故选C．] 课时精练(十八)　习题课(一)　平面向量中的最值与范围问题 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是(　　 ) A．[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，4) D．(2，4) C　[因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以