第六章 平面向量及其应用章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．在本章中主要表现为理解向量的基本概念． 体现一　平面向量的基本概念 (多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．a∥b存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa B．e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e C．|a·a·a|＝|a|3 D．若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c BC　[若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念可知D错误．易知BC正确．故选BC．] 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中． 体现二　平面向量的线性运算 (1)在△ABC中，点D在线段BC上，且CD＝2BD，E为AC的中点，则＝(　　 ) A. －＋ B. －－ C. － D. ＋ 学生用书↓第42页 (2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ－μ＝___________． 解析：(1)根据题意画出图形，如图所示：由题意可得＝＋＝＋＝＋＝＋，因为E为AC的中点， 所以＝， 故＝－＝－＝－＋.故选A． (2)如图，将a，b，c平移至相同起点O，且a＝，b＝，c＝，并建立直角坐标系xOy，若每个单元格长为1，则a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(3，4)，又c＝λa＋μb，所以＝＋＝， 即，可得，所以λ－μ＝. 答案：(1)A　(2) 体现三　平面向量的数量积运算 如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ＝2，则·＝(　　 ) A. －　　 B. － C. －　　 D. － B　[因为圆的半径为1，BC是直径，＝2，所以＝.根据向量加法和减法法则知：＝－，＝－，又DE是直径，所以＝－，＝1，则·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝－(＋)·(－)＝||2－||2＝－1＝－.故选B．] 体现四　利用正、余弦定理解三角形 (2023·全国甲卷) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解析：(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理可得－＝－＝－＝＝1， 变形可得sin－sin＝sin B， 即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－，又0<A<π， 所以sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 素养三　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中． 体现五　平面向量的应用 (1)设非零向量a，b的夹角为θ，定义运算“*”： a*b＝··sin θ. 下列命题：①若a*b＝0，则a∥b；②设△ABC中，＝a，＝b，则2S△ABC＝a*b；③a*＝a*b＋a*c(c为任意非零向量)；④若＝＝1，则max＝1.其中正确命题的编号是(　　 ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ (2)(多选)下列说法错误的是(　　 ) A.c＝a B．若|a|＝|b|，则a＝b C．在△ABC中，若＝，则△ABC是直角三角形 D．已知a＝，b＝，若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 (1)D　(2)ABD　[(1)a*b＝0，··sin θ＝0，解得θ＝0°或θ＝180°，故a∥b，则①正确；由a*b的定义可知，其结果表示以a，b为一组邻边的平行四边形的面积，故2S△ABC＝a*b，则②正确；不妨取c＝，b＝，a＝，故可得a*＝0，而a*b＋a*c＝×1×＋×1×＝2，显然不相等，故③错误；若＝＝1，则a*b＝sin θ∈，故④正确．故选D． (2)对于A中，由向量的数乘运算和向量的概念，可得(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，两者不一定相等，所以不正确；对于B中，a＝b需满足两个条件，a，b同向，且|a|＝|b|，所以B不正确；对于C中，在△ABC中，由＝，可得＝，两边同时平方整理得·＝0，即⊥，所以△ABC是直角三角形，所以C正确；对于D中，由a＝(1，2)，b＝(2，λ)，若a与b的夹角为锐角，则满足，即，解得λ>－1且λ≠4，所以不正确．故选ABD．] 体现六　判断三角形的形状 在△ABC中，角A，B