第六章 10 6.3　6.3.5　平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． [微提醒]　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 已知a＝，b＝，c＝，分别求下列各式的值： (1)a·；(2)·；(3)(a·b)c. 解析：(1)a·＝·＝－6＋6＝0. (2)·＝(－2，18)·(4，7)＝－8＋18×7＝118. (3)(a·b)c＝(－4＋12)·(－1，－2)＝(－8，－16)． 方法技巧 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： 1．|a|2＝a·a. 2．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. 3．(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.　　 即时练1.已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　 )　　 A.6　　 B.5 C.4　　 D.3 C　[由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C．] 即时练2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________． 解析：建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为＝2，所以F.所以＝(2，1)，＝－(2，0)＝，所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 答案： 知识点二　平面向量的模 若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出的模吗？ 提示：根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)， 则＝. 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. [微提醒]　的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的． 设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　 )　 A.　 B. C.　 D. A　[因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝＝.故选A．] 　方法技巧 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． 2．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　 即时练3.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________． 解析：因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又|a＋b|＝5，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， 所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5. 答案：5 学生用书↓第24页 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝. 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. (1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． (2)cos θ＝＝. [微提醒]　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角． 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)． (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解析：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. (2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 方法技巧 解决向量夹角问题的方