第六章 6.4　6.4.3　第5课时　余弦定理、正弦定理的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第5课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 [学习目标]　1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式．　2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用．　3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 知识点　三角形面积公式 请回答以下问题： 1．在△ABC中，若已知两边及其夹角，你能利用面积公式求出△ABC的面积吗？ 提示：在△ABC中，若已知两边a，b和角C，则根据面积公式可以得到S△ABC＝aha＝a·bsin C或S△ABC＝bhb＝b·asin C； 所以得到S△ABC＝a·bsin C＝b·csin A＝a·csin B. 2．若△ABC存在内切圆，并且内切圆的半径为r，则三角形的面积与r之间存在什么关系呢？ 提示：将三角形内切圆的圆心与顶点A，B，C相连，则△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和，即S△ABC＝(a＋b＋c)r. 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°，sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________． 解析：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去)． 所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. (2)由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 答案：(1)　(2) 学生用书↓第39页 方法技巧 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．　　 即时练1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解析：(1)由余弦定理可得： BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A ＝1＋4－2×1×2×cos120°＝7， 则BC＝，cos B＝＝＝， sin B＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝ ＝4， 则S△ADC＝S△ABC＝×＝. 应用一　余弦、正弦定理在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－. (1)求sin C的值； (2)若BD＝5，求△ABD的面积． 解析：(1)因为cos∠ADB＝－， 所以sin∠ADB＝. 又因为∠CAD＝，所以∠C＝∠ADB－. 所以sin C＝sin＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin＝×＋×＝. (2)在△ACD中，由＝， 得AD＝＝＝2. 所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB＝×2×5×＝7. 方法技巧 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．　　 即时练2. 如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为. (1)求AC的长； (2)若AB⊥AD，∠B＝.求BC的长． 解析：(1)因为∠D＝，CD＝，△ACD的面积为， 所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝×AD××＝，所以AD＝， 所以由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18， 所以AC＝3. (2)由(1)知，在△ACD中，AD＝，CD＝，∠D＝，所以∠DAC＝， 因为AB⊥AD，所以∠BAC＝. 又因为∠B＝，AC＝3， 所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，所以BC＝3. 应用二　余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b－c＝2，cos A＝－. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值． 解析：(1)在△ABC中，cos A＝－， 因为A∈(0，π)，所以sin A＝＝， 由△ABC的面积为，可得bcsin A＝，可得bc＝8. 又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)， 所以b＝4，c＝2， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋4－2×8×＝24，所以a＝2， 又＝，解得sin C＝， 所以a＝2，sin C＝. (2)由(1)知，