第六章 6.4　6.4.3　第2课时　正弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　正弦定理 [学习目标]　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．　2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 知识点　正弦定理 在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示：(1)如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C. 因为＋＝，所以j·(＋)＝j·. 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即|j|||cos＋|j|||cos＝|j|||cos， 也即asin C＝csin A，所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝. 因此＝＝. (2)当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与的夹角为－C， 仿照上述方法，同样可得＝＝. 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R.(R是△ABC外接圆的半径) 角度一　已知两角及任意一边解三角形 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解析：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．　　方法技巧 即时练1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值． 解析：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°． 由＝，得c＝＝＝ ＝4(＋1)． 所以A＝45°，c＝4(＋1)． 角度二　已知两边及其中一边的对角解三角形 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形． 解析：因为＝，所以sin C＝＝＝， 因为0°<C<180°，所以C＝60°或C＝120°． 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. 所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°． [变式探究] (变条件)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解析：因为＝，所以sin A＝＝＝. 因为c＝>2＝a，所以C>A. 所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 学生用书↓第33页 　方法技巧 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 第一步：用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角； 第二步：用三角形内角和定理求出第三个角； 第三步：根据正弦定理求出第三条边． 其中进行第一步时要注意讨论该角是否可能有两个值．　 即时练2.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　 ) A.　 B. C.　 D. B　 [由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝，因为AB<AC，所以C<B，C为锐角，所以cos C＝＝.故选B．] 三角形解的个数的判断 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°． 解析：(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°．故三角形有两解． (3)sin B＝＝sin C>sin C＝. 所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解． 方法技巧 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 1．应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． 2．在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 即时练3.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　 ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 ABD　[A中，因为＝，所以sin B＝＝