第六章 6.4　6.4.3　第1课时　余弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 [学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．　2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 知识点一　余弦定理 请回答以下问题： 1．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B. 2．在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＝b2＋c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例． 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C [微提醒]　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一． (4)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理．所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 学生用书↓第30页 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，求c，A. (2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值． 解析：(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋9－2×2×3×＝3， 所以c＝. 所以cos A＝＝＝0， 所以A＝90°． (2)由余弦定理，得cos B＝， 则＝， 得a2＋c2＝ac＋4，由a＋c＝6， 得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. 方法技巧 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．　　 即时练1.在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　　 B.2 C.　　 D. D　[由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋22－2×1×2×＝3，所以b＝.故选D．]知识点二　解三角形 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形cos A＝，cos B＝，cos C＝. 1．余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2．解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解析：根据余弦定理的推论，得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝，cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 所以B＝π－A－C＝π－－＝， 所以A＝，B＝，C＝. 方法技巧 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角．　　 即时练2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 解析：因为a>c>b，所以A为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝－. 又因为0°<A<180°，所以A＝120°， 所以最大角A为120°． 学生用书↓第31页 利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状． 解析：由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 得a·＋a·＝b＋c， 即＋＝b＋c， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形． 　方法技巧 1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求