第六章 6.4 6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [学习目标]　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．　2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 应用一　测量距离问题 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点间的距离． 解析：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，所以∠CBD＝90°－45°＝45°＝∠BCD， 所以BD＝CD＝40，BC＝＝40. 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， 所以∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400， 所以AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m． 方法技巧 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 　　 即时练1.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则BD两点的距离为______m，AD两点的距离为______m． 解析：因为∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，所以∠DCB＝135°，∠CBD＝30°， 在△BCD中，由正弦定理得：＝，即＝，解得BD＝45，因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠DAC＝∠DCA＝15°， 所以△ACD是等腰三角形，则AD＝CD＝45. 答案：45　45 应用二　测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A的仰角为60°．求塔高AB. 解析：(1)在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，则∠CBD＝75°， sin 75°＝sin＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝， 由正弦定理得：＝， BC＝＝＝50(3－)， 依题意，AB⊥BC， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，由tan∠ACB＝得：AB＝50(3－)tan 60°＝50(3－)×＝150(－)， 所以塔高AB是150(－)米． 学生用书↓第37页 方法技巧 测量高度问题的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数， 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 即时练2.(多选)甲，乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有(　　 ) A．甲楼的高度为20 m B．甲楼的高度为10 m C．乙楼的高度为 m D．乙楼的高度为10 m AC　[如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，所以AD＝BDtan 60°＝20m，AB＝40 m，在△ABC中，设AC＝BC＝x，由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝，则乙楼的高度为 m．故选AC．] 应用三　测量角度问题 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离30－30海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向． 解析：(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得：