第六章 6.4 6.4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理的简单应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理的简单应用 [学习目标]　1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系．　2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状．　3.掌握正弦、余弦定理的简单应用． 应用一　利用正弦、余弦定理解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形． 解析：法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 所以a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1，所以A＝90°，C＝60°． 法二：由正弦定理，得＝，解得sin C＝， 又c>b，所以30°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°． 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝6； 当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3. 方法技巧 若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，如在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．　　 即时练1.已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B成立，求角C的大小． 解析：由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B， 所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sin B， 所以a2－c2＝(a－b)b， 即a2＋b2－c2＝ab. 因为cos C＝， 所以cos C＝. 又因为0°<C<180°，所以C＝45°． 应用二　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A　[由正弦定理得，acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．故选A．] 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解析：根据正弦定理，得＝＝， 因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以A是直角． 因为A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， 所以sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C，所以sin(B－C)＝0. 又－90°＜B－C＜90°，所以B－C＝0，所以B＝C， 所以△ABC是等腰直角三角形． 方法技巧 判断三角形形状的方法及注意事项 1．方法：利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状． 2．注意事项：统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．　　 即时练2.在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 D　[由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°．又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形．故选D．] 即时练3.在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为(　　 ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C　[在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，因为0<B<π，sin B≠0，所以sin B＝1，B＝，所以三角形为直角三角形．故选C．] 学生用书↓第35页 应用三　正弦、余弦定理的综合问题 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解析：(1)因为bsin A＝acos B， 所以由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B. 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝，所以B＝. (2)因为sin C＝2sin A，所以由正弦定理，得