第六章 6.3　6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示．　2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 知识点一　数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy)． 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 方法技巧 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 即时练1.已知向量a＝，b＝，c＝. (1)求2a－3b＋c； (2)求满足c＝m a＋n b的实数m，n. 解析：(1)2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3)． (2)因为c＝m a＋n b，所以＝m＋n＝， 所以解得 知识点二　平面向量共线的坐标表示 已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 平面向量共线的坐标表示 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 (多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　 ) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) ABC　[能作为平面内的基底，则两向量a与b不平行，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，所以a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b.故选ABC．] 方法技巧 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．　　 即时练2.已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解析：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以∥，所以与共线． 又＝，所以与的方向相同． 学生用书↓第22页 应用一　利用向量共线的坐标表示求参数 (1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________． (2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________． 解析：(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－. (2)＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去)． 答案：(1)－　 (2)－ 方法技巧 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1．利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． 2．利用向量共线的坐标表示直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．　　 即时练3.已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　 ) A．－1或 B.1或－ C．－1 D. D　[非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，所以m＝.故选D．] 即时练4.若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 解析：因为a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b， 所以sin α－3cos α＝0，即tan α＝， 又0<α<，故α＝. 答案： 应用二　 有向线段定比分点坐标公式及应用 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，