第六章 6.3　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 [学习目标]　1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示． 知识点一　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．向量的坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． [微提醒]　　(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． (1)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　 ) 学生用书↓第19页 A．(1, 1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) (2)(多选)已知＝(－2，4)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．A点的坐标是(－2，4) B．B点的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4) (1)A　(2)ABC　[(1)由题意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1)．故选A． (2)由题意，向量＝(－2，4)与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(－2，4)，故A错误；同理B点的坐标不一定是(－2，4)，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是(2，－4)，故C错误；当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)，故D正确．故选ABC．] 方法技巧 求点和向量坐标的常用方法 1．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． 2．求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 即时练1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为_________． 解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6， 即A(2，6)，所以＝(2，6)． 答案：(2，6) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 请回答以下问题： 1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 2．如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)． 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [微提醒]　一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标． 解析：因为＝＋，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝(－3，－5)． 方法技巧 平面向量坐标运算的技巧 1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．　　 即时练2.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) A　[法一：设C(x，y)，O(0，0)，则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4)．故选A． 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A．] 学生用