第六章 6.3　6.3.1　平面向量基本定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．　2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．　3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点　平面向量基本定理 请回答以下问题： 1．如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量． 提示：＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 2．上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示：分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [微提醒]　(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．特别地：当λ1e1＋λ2e2＝0时，λ1＝λ2＝0. (1)(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，则下列说法正确的是(　　 ) A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C．线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 (2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (1)AC　(2)ACD　[(1)A中，若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.故A正确；B中，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．故B不正确；C中，平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．故C正确；D中，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．故D不正确．故选AC． (2)选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选ACD．] 　方法技巧 1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底． 2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则　 即时练1.已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3. 答案：3 学生用书↓第17页 应用一　用基底表示向量 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，. 解析：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 　方法技巧 用基底表示向量的一般方法 1．根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． 2．基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．　 即时练2. 如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________． 解析：以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋