第六章 6.2　6.2.1　向量的加法运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念．　2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义．　3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 请回答以下问题： 1．某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？ 提示：如右图所示，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和；三角形法则． 2．如图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示：F＝F1＋F2；平行四边形法则． 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 续表 平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 [微提醒]　(1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”． (2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”． (1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解析：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． (2)法一(三角形法则)：如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 学生用书↓第5页 　方法技巧 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 　 即时练1.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝. (1)a＋b＋c＝ ________； (2)b＋d＋c＝ ________． 解析：(1)a＋b＋c＝＋＋＝. (2)b＋d＋c＝＋＋＝. 答案：(1)　(2) 知识点二　共线向量的加法与向量加法的运算律 请回答以下问题： 1．请结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系． 提示：(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 2．我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示：如右图，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 借助下图，不难证明满足结合律． 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋； (4)＋＋. 解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. (4)＋＋＝＋＋＋＋＝. 　方法技巧 向量加法运算律的意义和应用原则 1．意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． 2．应用原则：通过向量加法的交换律